Este es un ejercicio que se me ocurrió mientras estudiaba una introducción a las matemáticas financieras.
Ejercicio :
Consideremos el espacio muestral finito $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$ y que $\mathbb P$ sea una medida de probabilidad tal que $\mathbb P[\{\omega_1\}] > 0$ para todos $i=1,2,3$ . Definimos un mercado financiero de un período que está constituido por el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)$ con $\mathcal{F} := 2^\Omega$ y los valores $\bar{S} = (S^0,S^1,S^2)$ que se componen de la seguridad de riesgo cero $S^0$ y dos valores $S^1,S^2$ que tienen riesgo. Sus valores en el momento $t=0$ vienen dados por el vector $$\bar{S}_0 = \begin{pmatrix} 1\\2\\7 \end{pmatrix}$$ mientras que sus valores en el momento $t=1$ , dependiendo de si el escenario $\omega_1,\omega_2$ o $\omega_3$ son dados por los vectores $$\bar{S}_1(\omega_1) = \begin{pmatrix} 1\\3\\9\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_2) = \begin{pmatrix} 1\\1\\5\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_3) = \begin{pmatrix} 1\\5\\10 \end{pmatrix}$$ (a) Demuestre que este mercado financiero tiene arbitraje.
(b) Que $S_1^2(\omega_3) = 13$ mientras que los demás valores siguen siendo los mismos que antes. Demuestre que este mercado financiero no tiene arbitraje y describa todas las medidas de martingala equivalentes.
Intento :
(a) Tenemos que un proceso de valor se define como :
$$V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}_t = \sum_{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in \{0,1\}$$
donde $\xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1}$ es una estrategia de inversión en la que el número $\xi^i$ es igual al número de piezas de la seguridad $S^i$ que están contenidas en la cartera en el periodo de tiempo $[0,1], i \in \{0,1,\dots,d\}$ .
Ahora, también sé que para demostrar que un mercado tiene arbitraje, necesito demostrar lo siguiente :
$$V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0$$
Entiendo que los diferentes $S$ Los vectores se introducirán para calcular $V_t$ pero realmente no puedo comprender $\xi$ . ¿Qué haría el $\xi$ ¿vector ser?
Cualquier ayuda para que pueda entender lo que $\xi$ realmente se basa en el problema y cómo completar mi intento será muy apreciado.
Para (b) La demostración de que no hay arbitraje es similar a (a) ya que sólo voy a demostrar que una de estas condiciones no se cumple. Sin embargo, ¿qué pasa con la martingala? Es una sustancia matemática en la que realmente no hemos entrado así que, si es posible, agradecería una elaboración.
