Representación del riesgo en la teoría de la cartera cuando la rentabilidad sólo puede tomar dos valores

Question

Estoy tratando de adaptar herramientas de la teoría de la cartera para otro uso, y tengo una pregunta sobre cómo podría hacerlo.

Supongamos que en lugar de tener rendimientos normalmente distribuidos, el rendimiento $R_i$ es, digamos, 3 o 0. Entonces, $E(R_i)=3P(R_i=3)$ .

En la página wiki de Modern Portfolio, dice

Obsérvese que la teoría utiliza la desviación estándar de la rentabilidad como proxy del riesgo, lo que es válido si los rendimientos de los activos se distribuyen conjuntamente de forma normal o de otra forma elíptica.

Me interesa sobre todo calcular los rendimientos esperados y el riesgo a la wiki . Me gustaría utilizarlos como métrica para comparar un número relativamente pequeño de posibles carteras. Pero, obviamente, en el caso que me interesa, los rendimientos no se distribuyen normalmente. ¿Cuáles son las consecuencias de seguir utilizando la desviación estándar de los rendimientos como "indicador de riesgo"? ¿Hay alguna medida alternativa que tenga más sentido?

¿Qué tan malo sería pretender que los rendimientos se distribuyan normalmente, centrados en la media del rendimiento bernoulli, con la misma varianza?

Lo que está en juego no es especialmente importante y actualmente la única herramienta para lo que intento hacer es el juicio humano y la experiencia (la aplicación no está en las finanzas).

Answer 1

Primero hay que definir para qué se necesita una medida de riesgo. Normalmente es para tomar una decisión, por lo que tienes un criterio operativo que define tu riesgo. En este punto hay que volver a ver cuál es el impacto de un cambio de distribución en él.

Digamos, por ejemplo, que necesita una medida de riesgo para tomar decisiones en función de un Ratio de Sharpe y definirlo como:

$${\cal S}(R) = \frac{R-R_0}{\sigma(R)} $$

En este caso, el ratio de Sharpe es útil porque puede leerse como una aproximación directa a la probabilidad de que sus rendimientos sean mayores que $R_0$ asumiendo que $R$ sigue un Proceso gaussiano (aquí estamos), porque si se define $\Phi$ la función de reparto de una gaussiana (es decir $\mathbb{P}(G>g)=\Phi(g)$ ) que tienes:

$$\mathbb{P}(R>R_0)=\Phi( {\cal S}(R)) = \Phi\left( \frac{R-R_0}{\sigma(R)} \right)$$

Así que ahora " ¿Qué pasa si $\tilde R$ no es más gaussiano? ". Para el mismo criterio operativo (es decir, la probabilidad de ser mayor que una base $R_0$ ), puedes encontrar la respuesta muy fácilmente:

• si $R_0$ es mayor que 3: $$\mathbb{P}({\tilde R}>R_0)=0$$

• si $R_0$ es inferior a 0: $$\mathbb{P}({\tilde R}>R_0)=1$$

• si no $$\mathbb{P}({\tilde R}>R_0)=1-\mathbb{P}({\tilde R}=3)$$

Así que tienes la respuesta (se puede reproducir para cualquier otra distribución que tu ejemplo de juguete):

1. volver a su criterio operativo
2. escriba su significado para su distribución
3. usted tiene la respuesta

Answer 2

He aquí un ejemplo en el que el uso de la desviación estándar como medida de riesgo no tiene sentido:

Digamos que Caso 1: La probabilidad de obtener 3 es 0,5, y la de obtener 0 es 0,5. Su rendimiento esperado es 1.5 y su desviación estándar esperada es 1.5 (Espero que mis cálculos sean correctos).

Caso 2: La probabilidad de obtener 5 es 0,5 y la de obtener 0 es 0,5. Su rendimiento esperado es 2.5 y su desviación estándar esperada es 2.5 (Espero que mis cálculos sean correctos).

Pero, ¿realmente el caso 2 tiene mayor riesgo? Si es así, ¿cómo? ¿Preferiría alguien la opción del caso 1 porque es más segura? En el caso anterior, el aumento de la desviación estándar al pasar del Caso 1 al Caso 2 sólo tiene un efecto positivo y ningún efecto negativo, y la opción del Caso 2 es claramente una mejor elección. Algo así no ocurrirá si tenemos una distribución normal.

Valor en riesgo es una medida de riesgo alternativa que podrías considerar.