Demuestra que $\text{Cov}[Z_t,Z_{t+h}]=\text{Cov}[Z_s,Z_{s+h}].$

Question

El problema: Si $X\sim\text{WN}(\mu,\sigma^2).$ Dejemos entonces que $Z$ sea el proceso definido por \begin{equation} Z_t=\sum_{i=0}^na_iX_{t-i} \end{equation} para unos coeficientes $a_1,...,a_n\in\mathbb{R}$ con $a_0=1.$ Demuestra que $\text{Cov}[Z_t,Z_{t+h}]=\text{Cov}[Z_s,Z_{s+h}]$ y que $\mathbb{E}[Z_t]=\mathbb{E}[Z_{t+h}].$

Intento:

\begin{align} \text{Cov}[Z_t,Z_{t+h}]&=\mathbb{E}[Z_tZ_{t+h}]-\mathbb{E}[Z_t]\mathbb{E}[Z_{t+h}]\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_i^2X_{t-i}X_{t+h-i}\right]-\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{t-i}\right]\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{t+h-i}\right]\\ &=\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_i^2X_{s-i}X_{s+h-i}\right]-\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{s-j}\right]\mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n}a_iX_{s+h-j}\right]\\ &=\mathbb{E}[Z_sZ_{s+h}]-\mathbb{E}[Z_s]\mathbb{E}[Z_{s+h}] = \text{Cov}[Z_s,Z_{s+h}]. \end{align} Podemos simplemente reemplazar $t$ con $s$ en $X_t$ para una serie temporal débilmente estacionaria, la media y la varianza no varían con el tiempo. El mismo razonamiento puede hacerse fácilmente para mostrar las expectativas.

Pregunta: ¿Es esto correcto? Parece demasiado fácil que podamos sustituir las cosas dentro de las expectativas de esa manera.

Answer 1

Tenga en cuenta que:

$$ Z_tZ_{t+h} = \left(\sum_{i=0}^{n}a_iX_{t-i}\right) \left(\sum_{j=0}^{n}a_jX_{t+h-j}\right) \not =\sum_{i=0}^{n}a_i^2X_{t-i}X_{t+h-i} $$

Sí, como el operador de expectativa es lineal, todo lo que necesitamos es para:

$$ E[X_{t-i}]=E[X_{s-i}]$$

y

$$ E[X_{t-i}X_{t+h-j}] = E[X_{s-i}X_{s+h-j}] $$

para mantener para todo $h$ , $i$ y $j$ .