Problemas para entender las pruebas de especificación de Hamilton 1996 en MS

Question

Soy un estudiante de grado y estoy tratando de codificar las pruebas de especificación para el modelo de Markov-conmutación en R, basado en el artículo "Specification Testing in Markov-Switching time series models" Hamilton 1996.

Más concretamente, no entiendo la ecuación 3.12, o quizás he entendido algo mal.

En la ecuación 3.12 tienes un término como este

$$ = p_{ij}^{-1} p(s_{t}=j,s_{t-1}=i|\Omega_{t})$$

Pero como

$$ p(s_{t}=j,s_{t-1}=i|\Omega_{t}) = p_{ij} p(s_{t-1}=i|\Omega_{t})$$

entonces

$$= p_{ij}^{-1}p_{ij} p(s_{t-1}=i|\Omega_{t}) = p(s_{t-1}=i|\Omega_{t})$$

¿Está bien?

Answer 1

En mi pregunta, reescribí la probabilidad conjunta como el producto de las probabilidades condicionales, pero implementé erróneamente el supuesto de markov de este modelo. El supuesto de markov es: $$ p(s_{t}=j|s_{t-1}=i,\Omega_{t-1})=p(s_{t}=j|s_{t-1}=i)=p_{ij} $$ Pero, cuando se condiciona a la información disponible en la fecha t $$ p(s_{t}=j|s_{t-1}=i,\Omega_{t})\neq p(s_{t}=j|s_{t-1}=i)=p_{ij} $$ Lo que significa que

$$ p(s_{t}=j,s_{t-1}=i|\Omega_{t})\neq p(s_{t}=j|s_{t-1}=i)p(s_{t-1}=i|\Omega_{t}) $$