Cobertura Delta con un subyacente diferente

Question

En Bouzoubaa y Osseiran En la página 68, ecuación 5.3, los autores hablan de la cobertura delta de una opción de compra emitida para el activo $S_1$ utilizando un activo subyacente diferente pero correlacionado $S_2$ . Los autores proporcionan la siguiente fórmula.

$$ \frac{\partial S_2}{\partial S_1}=\rho_{1,2}\frac{\sigma_2S_2}{\sigma_1S_1}, $$

donde $\rho_{1,2}$ es la correlación entre $S_1$ y $S_2$ y $\sigma$ se refiere a la volatilidad (desviación estándar).

Mi pregunta

En caso de que esta fórmula sea

$$ \frac{\partial S_2}{\partial S_1}=\rho_{1,2}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}, $$

¿en su lugar? Porque este sería el $\hat{\beta}$ en una regresión OLS (véase aquí ). Intuitivamente, si ajustamos

$$S_2 = \hat{\alpha} + \hat{\beta} S_1+\varepsilon,$$

entonces

$$ \frac{\partial S_2}{\partial S_1}=\hat{\beta}=\rho_{1,2}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}. $$

¿Me estoy perdiendo algo? ¿Cuáles son los términos $S_1$ y $S_2$ en la fórmula impresa?

Answer 1

Yo abordaría esto utilizando alguna aplicación manual de la distribución normal condicional bivariada a los movimientos geométricos brownianos:

Para una variable aleatoria multivariante normalmente distribuida $X$ , dividido en dos bloques $X_1,X_2$ es decir $X\equiv\left(X_1,X_2\right)^T$ con media cero y matriz de covarianza

$$ \Sigma\equiv\begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{pmatrix}$$

el distribución condicional de $X_1$ dado $X_2$ también es Normal, con media y varianza

$$ \begin{align} \mathrm{E}(X_1|X_2=x_2)&=\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}x_2\\ \mathrm{V}(X_1|X_2=x_2)&=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21} \end{align} $$

En el caso bivariado $\mathrm{E}(x_1|x_2)=\frac{\sigma_1\sigma_2\rho}{\sigma_2^2}x_2=\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}x_2$ y $\mathrm{V}(x_1|x_2)=\sigma_1^2(1-\rho^2)$

Cómo se aplica a su pregunta

Dejemos que $S_1,S_2$ siguen un movimiento browniano geométrico bivariante:

$$ \begin{align} \frac{dS_i}{S_i}&=\mu_i dt+\sigma_idW_i \end{align} $$ con $dW_1dW_2=\rho dt$ . Entonces

$$ \begin{pmatrix}dS_1&dS_2\end{pmatrix}^T\sim\mathbf{N}\left(\mathbf{0}\times dt,\begin{pmatrix}S_1^2\sigma_1^2&S_1S_2\sigma_1 \sigma_2\rho\\ S_1S_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho&S_2^2\sigma_2^2\end{pmatrix}dt\right) $$

Aplicando lo anterior:

$$ \mathrm{E}\left(x_1|x_2\right)=\frac{S_1S_2\sigma_1\sigma_2\rho}{S_2^2\sigma_2^2}x_2=\frac{S_1}{S_2}\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho x_2 $$

y

$$ \mathrm{E}\left(x_2|x_1\right)=\frac{S_1S_2\sigma_1\sigma_2\rho}{S_1^2\sigma_1^2}x_1=\frac{S_2}{S_1}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\rho x_1 $$

es decir

$$ \mathrm{E}(dS_2)/dS_1=\frac{S_1S_2\sigma_1\sigma_2\rho}{S_1^2\sigma_1^2}=\frac{S_2}{S_1}\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\rho $$

que da lugar a la declaración del libro.

¿HTH?