Estoy tratando de determinar cómo escribir el pronóstico K-step ahead de un VAR(2), con dos variables, como una media ponderada de sus observaciones medias y últimas. Entiendo que se debe utilizar la forma de compañía, pero no estoy seguro de cómo derivar los pesos de la misma. Cualquier orientación es muy apreciada. Gracias.
Respuesta
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No soy un especialista en VAR, pero podría ir en la siguiente línea.
Primero escribe el VAR en forma de compañero: $$ X_{t+k} = A + B X_{t+k-1} + E_{t+k-1}. $$ Donde $t$ es la última observación, $E_j$ son los errores y $A$ y $B$ son coeficientes fijos.
Entonces se resuelve recursivamente: $$ \begin{align*} X_{t+k} &= A + B X_{t+k-1}+ E_{t+k-1},\\ &= A + B(A + B X_{t+k-2} + E_{t+k-2}) + E_{t+k-1},\\ &= (I + B)A + B^2 X_{t+k-2} + B E_{t+k-2} + E_{t+k-1},\\ &= (I + B)A + B^2(A + BX_{t+k-3} + E_{t+k-3}) + B E_{t+k-2} + E_{t+k-1},\\ &= (I + B + B^2)A + B^3 X_{t+k-3} + B^2 E_{t+k-3} + B E_{t+k-2} + E_{t+k-1},\\ &= \ldots\\ &= A \sum_{j = 0}^{k-1} B^j + B^{k} X_t + \sum_{j = 0}^{k-1} B^j E_{t+k-j-1} \end{align*} $$ Entonces, tomando las expectativas condicionales y utilizando $\mathbb{E}(E_j|X_t) = 0$ , da: $$ \mathbb{E}(X_{t+k}|X_t) = A \sum_{j = 0}^{k-1} B^j + B^{k} X_t. $$ Si dejamos que $k \to \infty$ y si $B^k \to 0$ (es decir, el proceso es estable) tenemos que: $$ \mathbb{E}(X_{t+k}|X_t)\to \mathbb{E}(X_\infty) = A \sum_{j = 0}^\infty B^j = A(1 - B)^{-1} $$ Sustituyendo $A = \mathbb{E}(X_\infty) (1- B)$ da: $$ \mathbb{E}(X_{t+k}) = \mathbb{E}(X_\infty)(1- B) \sum_{j = 0}^{k-1} B^j + B^{k} X_t. $$ Se trata de una suma ponderada de $\mathbb{E}(X_\infty)$ y $X_t$ . En realidad es una media ponderada, ya que los pesos se suman a la matriz unitaria: $$ (I - B) \sum_{j = 0}^{k-1} B^j + B^k = \sum_{j = 0}^{k-1} B^j - \sum_{j = 1}^{k} B^j + B^{k} = B^0 - B^{k} + B^{k} = I $$
