Precio a la baja y opción de barrera utilizando Vol local y Monte Carlo

Question

Como ingeniero financiero de nivel inicial, estoy tratando de dar sentido a un caso práctico utilizando los conceptos que aprendí incluyendo vol local, monte carlo, así que realmente aprecio su consejo si mi comprensión es correcta:

Pregunta:

Supongamos que ponemos precio a una opción de compra con barrera hacia abajo y hacia adentro utilizando vol local y monte carlo, creo que deberíamos implementarlo así:

En primer lugar, calibramos la superficie local de vol mediante la fórmula de Dupire: $$ \sigma_{LV}^2(T,K) = \frac{\Sigma^2 + 2\Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial T} + \mu(T)K \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)} {\left( 1-\frac{Ky}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)^2 + K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K} - \frac{1}{4} K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right) ^2 + K \frac{\partial^2 \Sigma}{\partial K^2} \right)} \tag{1} $$ donde $y = \text{ln}(K/F(0,T))$ y $\Sigma = \Sigma(T,K)$

En segundo lugar, simulamos varias trayectorias de la evolución del precio de las acciones utilizando $S_i = S_{i+1}*e^{(r-0.5*\sigma^2)*\Delta{}t+\sigma*sqrt(\Delta{}t)*\epsilon_i}, $ $\Delta{}t=(T-t)/N,$ $t_i = t+\Delta{}t*i, i = 0,1,2...N$ , así que aquí está mi duda y de nuevo realmente agradezco su consejo: ¿qué es $\sigma$ en la evolución? ¿es $\sigma(K,T)$ , $K$ es el strike de la opción barrera y $T$ es el tiempo en el paso $i$ y $T=t_i = t+\Delta{}t*i$ ?

En tercer lugar, después de calcular todas las trayectorias (por ejemplo, el número de trayectorias es 100) de la evolución del precio de las acciones, para todos los precios de las acciones (en el momento del vencimiento T, por supuesto) que estén por debajo de la barrera, los correspondientes precios de las opciones de barrera son cero, y para todos los precios de las acciones que estén por encima de la barrera, utilizamos la fórmula de pago $max(S_T-K,0)$ para calcular los precios de las opciones, luego sumamos todos los precios de las opciones calculados y los dividimos por el número de trayectorias, y descontamos el precio medio al tiempo actual.

Me pregunto si mi interpretación es correcta.

Answer 1

Para la primera pregunta, basta con introducir t para T y S para K:

$\sigma^2 \left(t, S \right)=\left. \sigma^2 \left(T,K\right) \right|_{T=t,K=S}$

Para la parte de Monte Carlo, la barrera se aplicaría a la historia del precio de las acciones a lo largo de alguna ventana (que podría ser desde hoy hasta el vencimiento de la opción, pero son posibles otras variaciones) en lugar de sólo el precio terminal. Así, para la opción de compra con barrera inferior, se fijará el pago igual a $\max \left(S_T-K, 0\right) 1_{m_T <l}$ donde $m_T$ significa el precio mínimo de las acciones durante, por ejemplo, la vida de la opción, y 1 es la función indicadora, que devuelve 1 si se cumple la condición y cero en caso contrario. Por lo tanto, sólo se cuentan las trayectorias en las que el precio de las acciones ha descendido por debajo de la barrera l en algún momento y, a continuación, el resultado de cada una de estas trayectorias es el resultado estándar de la opción de compra.

Ahora bien, si la barrera se controla de forma discreta, y estos puntos de tiempo discretos coinciden con la discretización temporal del monte carlo, entonces se puede calcular fácilmente el precio mínimo de las acciones. Sin embargo, la mayoría de las veces se tratará de una barrera continua, lo cual es un poco complicado, porque el precio de las acciones puede ir por debajo de la barrera entre los pasos discretos que nuestros pasos de simulación discretos no capturarán. Pero hay un truco para ajustarse a esto: el truco utiliza el principio de reflexión y el teorema de Girsanov para calcular la probabilidad condicional de que el precio se sitúe por debajo de la barrera en cada intervalo de tiempo discreto.