Pasos de tiempo en el modelo Vasicek

Question

Al simular acciones se puede utilizar fácilmente el GBM con una sola variable aleatoria por simulación para crear un nuevo precio de las acciones en, digamos, 5 años, no es necesario crear las trayectorias completas de los activos si no se necesita eso.

Ahora me pregunto si también es el caso del modelo Vasicek. ¿Puedo utilizar el modelo Vasicek de tipo corto con una sola variable aleatoria por simulación para crear un nuevo tipo corto en 5 años (sin construir toda la trayectoria del tipo corto en 5 años?)

Si es así, ¿cómo se pasa del nuevo tipo corto simulado a toda la nueva curva de rendimiento?

Gracias.

Answer 1

¡Sí se puede! Cualquier EDE que tenga una solución analítica puede ser simulada exactamente. El modelo de Vasicek tiene una dinámica $dr=a(b-r)dt+\sigma dW_t$ . Por el lema de Ito, $$d\left(e^{at}r\right)=e^{at}\left(a(b-r)dt+\sigma dW_t\right) +a e^{at} r dt$$ Simplificando, $$d\left(e^{at}r\right)=e^{at} ab +e^{at}\sigma dW_t$$ Integrar, $$e^{aT} r_T=r_0+b(e^{aT}-1)+\sigma \int_0 ^ T e^{at} dW_t$$ Resolver para $r_T$ , $$r_T=r_0 e^{-aT} +b(1-e^{-aT})+\sigma \int_0 ^ T e^{-a(T-t)} dW_t $$ Como el integrando Ito es determinista, la distribución de la integral Ito es normal con media cero y varianza $$\sigma^2\int_0 ^ T e^{-2a(T-t)} dt =\frac{\sigma^2}{2a}\left(1-e^{-2aT}\right) $$ La distribución de $r_T$ es, por tanto, normal con la expectativa $$r_0 e^{-aT} +b(1-e^{-aT})$$