Maximización de la utilidad CES dos bienes dos periodos

Question

En una economía Arrow-Debreu, hay dos períodos y N agentes idénticos. En cada período, el agente consume dos bienes $c_{At}$ , $c_{Bt}$ donde $ t = 0,1 $ y tiene las dotaciones $(e_{a0},e_{b0},e_{a1},e_{b1})$

La función de utilidad del agente es $U(c_{a0},c_{b0}) + \beta U(c_{a1},c_{b1}) $ donde $U$ sigue la forma CES: $U(c_{at},c_{bt}) = (c_{at}^p + c_{bt}^p)^{1/p}$ .

Necesito encontrar el equilibrio competitivo de la economía.

Así que, como de costumbre, establezco el Lagrangiano y trato de encontrar los FOCs: $ L= (c_{a0}^p + c_{b0}^p)^{1/p} + \beta (c_{a1}^p + c_{b1}^p)^{1/p} + \lambda(p_{a0}c_{a0} + p_{b0}c_{b0} + p_{a1}c_{a1} + p_{b1}c_{b1} - p_{a0}e_{a0} - p_{b0}e_{b0} - p_{a1}e_{a1} - p_{b1}e_{b1}) $

Después de resolver los FOCs, tengo: $$(c_{a0})^{p-1}(c_{a0}^p + c_{b0}^p)^{(1-p)/p} = -\lambda p_{0a} $$ $$(c_{b0})^{p-1}(c_{a0}^p + c_{b0}^p)^{(1-p)/p} = -\lambda p_{0b}$$ $$\beta (c_{a1})^{p-1}(c_{a1}^p + c_{b1}^p)^{(1-p)/p} = -\lambda p_{1a}$$ $$\beta(c_{b1})^{p-1}(c_{a1}^p + c_{b1}^p)^{(1-p)/p} = -\lambda p_{1b}$$ $$p_{a0}c_{a0} + p_{b0}c_{b0} + p_{a1}c_{a1} + p_{b1}c_{b1} = p_{a0}e_{a0} + p_{b0}e_{b0} + p_{a1}e_{a1} + p_{b1}e_{b1} $$ Después de dividir la primera ecuación por la segunda, y la tercera por la cuarta tengo: $$ c_{0b} = c_{0a}(\frac{p_{0a}}{p_{0b}})^{-1/(p-1)} $$ $$ c_{1b} = c_{1a}(\frac{p_{1a}}{p_{1b}})^{-1/(p-1)} $$

Sin embargo, esto no es suficiente para introducir la restricción presupuestaria y encontrar el consumo óptimo. También he probado a dividir la primera COF por la tercera (y luego sustituir las dos relaciones que tengo arriba) pero tampoco me ha producido nada significativo.

¿Puede alguien orientarme sobre cómo proceder? Gracias.

Answer 1

El problema puede resolverse mediante la presupuestación en dos fases. En la etapa 1 los ingresos totales $m = \sum_t p_{at} c_{at} + \sum_t p_{bt} c_{bt}$ se reparte entre los periodos. En la segunda etapa el gasto óptimo $E_t$ en el período $t$ se divide entre $c_{at}$ y $c_{bt}$ .

Este problema de la segunda etapa puede escribirse como $$ \max \left((c_{at})^\rho + (c_{bt})^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}} \text{ subject to } p_{at} c_{at} + p_{bt} c_{bt} = E_t $$ Esto da: $$ ((c_{at})^\rho + (c_{bt})^\rho)^{\frac{1 - \rho}{\rho}} (c_{at})^{\rho - 1} = \lambda p_{at},\\ ((c_{at})^\rho + (c_{bt})^\rho)^{\frac{1 - \rho}{\rho}} (c_{bt})^{\rho - 1} = \lambda p_{bt},\\ $$ Entonces: $$ c_{at} = c_{bt}\left(\frac{p_{at}}{p_{bt}}\right)^{\frac{1}{\rho - 1}} $$ Esto da: $$ p_{at} c_{at} = p_{bt} c_{bt} \left(\frac{p_{at}}{p_{bt}}\right)^{\frac{\rho}{\rho - 1}} $$ Si sustituimos en la restricción presupuestaria, obtenemos: $$ p_{bt} c_{bt}\left(1 + \left(\frac{p_{at}}{p_{bt}}\right)^{\frac{\rho}{\rho - 1}}\right) = E_t,\\ \to c_{bt}\left((p_{bt})^{\frac{\rho}{\rho - 1}} + (p_{at})^{\frac{\rho}{\rho - 1}}\right) = p_{bt}^{\frac{1}{\rho - 1}} E_t $$ De la misma manera: $$ c_{at}\left((p_{bt})^{\frac{\rho}{\rho - 1}} + (p_{at})^{\frac{\rho}{\rho - 1}}\right) = p_{at}^{\frac{1}{\rho - 1}} E_t $$ Entonces: $$ (c_{at})^\rho + (c_{bt})^\rho = E_t^\rho \left((p_{at})^\frac{\rho}{\rho - 1} + (p_{at})^\frac{\rho}{\rho - 1}\right)^{1 - \rho} $$ Entonces: $$ \left((c_{at})^\rho + (c_{bt})^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}} = E_t \left((p_{at})^\frac{\rho}{\rho - 1} + (p_{at})^\frac{\rho}{\rho - 1}\right)^{\frac{1 - \rho}{\rho}} $$ Ahora define el periodo $t$ índice de precios: $$ (P_t)^{-1} = \left((p_{at})^\frac{\rho}{\rho - 1} + (p_{at})^\frac{\rho}{\rho - 1}\right)^{\frac{1 - \rho}{\rho}} $$ Dada esta asignación óptima dentro del período, podemos resolver el problema de la primera etapa: $$ \max \sum_t \beta^t (P_t)^{-1} E_t \text{ s.t. } \sum_t E_t = \sum_{t} p_{at} e_{at} + \sum_t p_{bt}e_{bt} $$ Se trata de un problema de optimización con sustitutos perfectos. Por lo tanto, todos los ingresos se asignarán al período en el que $\beta^t (P_t)^{-1}$ es el más alto.