Supongamos que la acción se mueve según un modelo clásico de Black-Scholes, y da un salto proporcional con una proporción desconocida. Digamos que es un +1% o un -3% del valor de la acción, y sabemos con seguridad que no hay otros resultados posibles. Después suponemos que las acciones se mueven con la misma volatilidad. Los tipos de interés son cero. Por lo tanto, el rendimiento total de las acciones $\xi$ hasta la expiración $T$ se convierte en $$ \xi = \eta_1\sigma\sqrt{t_j} + j + \eta_2\sigma\sqrt{T-t_j} $$ donde $t_j$ es el momento del salto, $\eta_i$ son variables aleatorias normales iid, y $j \in \{0.01, -0.03\}$ . Si tengo los precios de mercado de las opciones para el vencimiento $T$ Puedo usarlos para encontrar la distribución de $j$ . Mi pregunta es cuál es el significado de esta distribución, es decir, para qué puedo utilizarla. En particular, ¿es realmente lo que las cosas del mercado son el real ¿probabilidades para el salto? Mi opinión es que no, ya que obtendremos la probabilidad neutra de riesgo del salto, por lo que su media sería cero, aunque la gente esté segura de que es posible en un 99%.
Respuestas
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En primer lugar, su ecuación de rendimientos es falsa. Olvidando el salto, no se reduce a los rendimientos Gbm. Falta el término de varianza de la fórmula de Ito. En el caso de un salto, debería aparecer un término similar.
En segundo lugar, es evidente que la distribución no es "lo que el mercado considera que son las probabilidades reales": usted eligió imponer tamaños específicos para el salto, el mercado no lo hizo.
Por último, no se puede pretender deducir las probabilidades del mundo real a partir de los precios de las opciones, ya que éstos no dependen de la deriva.
Si crees que pretendes que $t_j$ es un tiempo fijo conocido de antemano, por ejemplo, el día de unas elecciones polémicas. Y usted postula que los dos tamaños de salto posibles se conocen de antemano y son acordados uniformemente por el mercado. Se trata de una suposición artificial -los mercados reales fijarían los precios en una gama continua de posibles tamaños de salto-, pero es conveniente desde el punto de vista matemático.
Entonces tienes razón, la condición de martingala requiere que la probabilidad neutra de riesgo de salto al alza y salto a la baja sea tal que el valor esperado sea cero.
Para tratar de obtener información del mercado de opciones, hay que tomar los tamaños de los saltos como inicialmente desconocidos y calibrarlos a partir de los precios de las opciones. También puede intentar la suposición simplista de una distribución de dos puntos: un tamaño de salto fijo hacia arriba y un tamaño de salto fijo hacia abajo. Optimizar un ajuste a los precios de las opciones sobre diferentes opciones de volatilidad y para estos tamaños de salto. De nuevo, hay una condición de martingala que traduce estos tamaños de salto a la probabilidad de salto al alza y a la baja. Pero ahora los obtiene del mercado, no de una suposición ad hoc.
De nuevo, las probabilidades son neutrales al riesgo, no al mundo real. Los precios neutrales al riesgo tienden a cobrar más por asegurarse contra los malos resultados, por lo que es de esperar que el precio neutral al riesgo para el salto a la baja sea una sobreestimación de la probabilidad del mundo real de ese evento. ¿Qué grado de sobreestimación? Es difícil de decir...
