Introducción básica a la diferenciación total
Supongamos que tenemos una función $$f(x_1,x_2,\ldots,x_n).$$ La derivada total viene dada por $$\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n,$$ donde el $\partial$ son derivados parciales y los $dx$ términos son los llamados "diferenciales".
Conceptualmente, lo que ocurre es lo siguiente: nos preguntamos "si cambio cada variable $x_i$ por un pequeño cantidad $dx_i$ ¿Cuál es el efecto sobre el valor global de $f$ ?"
Para responder a esta pregunta, podemos pensar en las variables una por una. Empecemos por $x_1$ . Un aumento de una unidad en $x_1$ causa $f$ para cambiar por $\partial f/\partial x_1$ . Estamos haciendo una pequeña $dx_1$ cambio de unidad en $x_1$ . Por lo tanto, el cambio total en $f$ debido al cambio de $x_1$ es $\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1$ . Al mismo tiempo, cambiamos $x_2$ por $dx_2$ , lo que da lugar a un $\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2$ cambio de unidad en $f$ y así sucesivamente.
Si quiere leer más sobre el tema, le recomiendo el capítulo correspondiente de "Fundamental Methods of Mathematical Economics" de Alpha Chiang.
Además de por qué esto puede ser útil (se puede omitir sin pérdida)
Veamos un ejemplo de su utilidad. Supongamos que tenemos un juego en el que los jugadores $i=1,2$ cada uno elige una acción $x_i$ . Jugador $i$ La recompensa de la empresa es
$$u_i=f(x_i,a)+g(x_i,x_j,a)$$
donde $a$ es un parámetro y $x_j$ es la acción del otro jugador. Así, la mejor acción de un jugador viene dada por la condición de primer orden
$$f_1(x_i,a)+g_1(x_i,x_j,a)=0$$ donde $f_i$ es la derivada parcial de $f$ con respecto a su $i^{th}$ argumento.
Es difícil saber cómo un cambio en el parámetro $a$ afectará $i$ La elección de $x_i$ porque el cambio en $a$ afectará $x_i$ no sólo directamente, sino también cambiando $x_j$ . Cuando todos estos cambios han vuelto al equilibrio, ¿qué ocurre? Parece que no podemos ir más allá porque necesitamos conocer la forma funcional de $f$ y $g$ para poder resolver explícitamente $x_i$ y ver cómo dependen unos de otros y de $a$ .
Pero la diferenciación total puede ayudarnos a entender las propiedades de la solución aquí. Vamos a diferenciar totalmente la condición de primer orden, permitiendo que todo $x_i$ , $x_j$ y $a$ para cambiar de una vez (omito los argumentos de las funciones por brevedad):
$$[f_{11}+g_{11}]dx_i+g_{12}dx_j+[f_{12}+g_{13}]da=0.$$
Ahora puedo resolver para $\frac{dx_i}{da}$ :
$$\frac{dx_i}{da}=-\frac{f_{12}+g_{13}}{f_{11}+g_{11}}.$$ Mientras sepa algo sobre las propiedades individuales de $f$ y $g$ Puedo utilizar esta ecuación para saber cuál es el signo de $fx_i/da$ lo será.
Volviendo a su ejemplo
Por conveniencia notacional, le doy a su función un nombre ( $f$ ):
$$f(C_1,T_1,T_2)\equiv\theta(V_1+Y^L_1-T_1+\frac{Y^L_2-T_2}{1+r})-C_1=0,$$
aplicamos las reglas básicas de la diferenciación total:
$$f_1 dC_1+f_2dT_1+f_3dT_2=0.$$
Calculamos $f_1=\frac{\partial f}{\partial C_1}=-1$ , $f_2=\frac{\partial f}{\partial T_1}=-\theta$ , $f_3=\frac{\partial f}{\partial T_2}=-\theta\frac{1}{1+r}$ . Por lo tanto, esto da $$dC_1=-\theta\left(dT_1+\frac{dT_2}{1+r}\right).$$
En palabras, esta ecuación nos dice que el cambio en $C_1$ debe ser igual a $-\theta\left(dT_1+\frac{dT_2}{1+r}\right)$ , donde $dT_1$ y $dT_2$ son los cambios en $T_1$ y $T_2$ . Así, si queremos decir que $C_1$ no cambia entonces debe ser que $dT_1=-\frac{dT_2}{1+r}$ para que los cambios en $T_1$ y $T_2$ 'cancelar'.
