Una pregunta sobre el equilibrio de Nash

Question

Tengo algunos problemas con el Equilibrio de Nash. La pregunta concreta es la siguiente.

Supongamos que hay $2N$ personas en el pueblo, de las cuales $N$ residentes viven en el primer distrito, y cada persona elige aumentar $q_1$ ovejas, y el coste de cada oveja es $c_1$ . Además, n personas viven en el segundo distrito, y cada una de ellas elige aumentar $q_2$ ovejas. El coste de una oveja es $c_2$ . Los ingresos aportados por cada oveja son $200-q$ , donde $q$ es el número total de ovejas del pueblo.
P: Encuentre el número de ovejas criadas por cada residente en las dos regiones bajo el equilibrio de Nash de este juego.

Esto es lo que pienso. Para simplificar, dejemos que $I$ denota el conjunto de índices de individuos en el primer distrito, de forma similar, $II$ para el segundo distrito.

Para $\forall i\in I$ el problema de maximización de beneficios es $$\begin{equation} \max_{q_i} \pi_i=(200-q_i-\sum_{k\neq i,\\i\in I}q_k-\sum_{l\in II}q_l)q_i-c_1q_i\\ F.O.C\qquad \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i}=200-2q_i-\sum_{k\neq i\\k\in I}q_k-\sum_{l\in II}q_l-c_1=0\\ BR_{q_i}(q_{-i})=q_i=100-\frac{1}{2}\sum_{k\neq i\\k\in I}q_k-\frac{1}{2}\sum_{l\in II}q_l-\frac{1}{2}c_1 \end{equation}$$

Del mismo modo, para $\forall j\in II$ tenemos la mejor función de reacción $$\begin{equation} BR_{q_j}(q_{-j})=q_j=100-\frac{1}{2}\sum_{k\in I}q_k-\frac{1}{2}\sum_{l\neq j\\l\in II}q_l-\frac{1}{2}c_2 \end{equation}$$

Dado que todos los individuos que pertenecen a la misma zona se encuentran en la misma situación, podemos suponer que $$\begin{align} \begin{cases} q_i^*=a, &\forall i\in I\\ q_j^*=b, &\forall j\in II \end{cases} \end{align}$$ y luego lo sustituimos en la mejor función de reacción, tenemos $$\begin{align} \begin{cases} (N+1)a+Nb=200-c_1\\ Na+(N+1)b=200-c_2 \end{cases} \end{align}$$ \begin{align} \begin{cases} a=\frac{ $$\begin{vmatrix} 200-c_1 & N\\ 200-c_2 & N+1 \end{vmatrix}$$ }{\begin{vmatrix} N+1 & N\\N-ES N & N+1 \fin{vmatrix}} b=\frac{ $$\begin{vmatrix} N+1 & 200-c_1\\ N & 200-c_2 \end{vmatrix}$$ }{\begin{vmatrix} N+1 & N\\N-ES N & N+1 \Fin de la vmatriz. \N - fin {casos} |align}

No sé si lo estoy haciendo bien, y voy a resolverlo bajo el supuesto de que existe una solución de punto interior. Creo que si se demuestra estrictamente, el costo $c_1,c_2$ puede ser considerado.

Answer 1

Por simetría podemos decir que para cada jugador $i$ en $I$ , $q_r=q_k$ $\forall r,k \in I$ . Del mismo modo, para $II$ . Que esto sea $q_I$ para los productores de $I$ y $q_{II}$ para $II$ .

Por lo tanto, la función de beneficio para el individuo $i$ en $I$ : $$\begin{align} \max_{q_i} \pi_i&=(200-(N-1)q_I-Nq_{II}-q_i))q_i-c_1q_i\\ \text{FOC: }\,\,\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i}&=200-(N-1)q_I-Nq_{II}-q_i-q_i-c_1=0 \\ \implies q_i^*(q_I,q_{II})&=\frac{200-Nq_{II}-c_1-(N-1)q_I}{2} \end{align}$$

Del mismo modo, obtendremos para el individuo $j$ en $II$ :

$$q_j^*(q_I,q_{II})=\frac{200-Nq_I-c_2 - (N-1)q_{II}}{2N}$$

En NE sabemos que $q_i^*=q_I^*$ y $q_j^*=q_{II}$ . Usando esto:

$$\begin{align} q_I^*&=\frac{200-Nq_{II}^*-c_1-(N-1)q_I^*}{2} \\ &=\frac{200-Nq_{II}^*-c_1}{N+1} \end{align}$$

Y así, $$q_{II}^*=\frac{200-Nq_{I}^*-c_2}{N+1}$$

Resolver para $q_I^*$ :

$$\begin{align} (N+1)q_I^*&=200-N\frac{200-Nq_I^*-c_2}{N+1}-c_1 \\ \implies q_I^* &=\frac{200-c_1+N(c_2-c_1)}{2N+1} \end{align}$$ De la misma manera, $$q_{II}^* =\frac{200-c_2+N(c_1-c_2)}{2N+1}$$