Demostrar que el precio de las acciones con descuento es martingala

Question

Dejemos que $\mathcal{K}_s$ sea $$ \mathcal{K}_s=\{\tilde{V}_t(\theta):0\leq t<\infty,\,\theta\text{ a simple strategy}\},$$ donde $\tilde{V}_t(\theta)$ es el proceso de valor descontado de la estrategia de autofinanciación $\theta$ , $$ \tilde{V}_t(\theta)=x+\sum_{j=1}^k\sum_{i=0}^{m-1} a^j_{t_i}(\tilde{S}^j_{t_{i+1}\wedge t}-\tilde{S}^j_{t_i\wedge t}).$$

Ahora dejemos que $\mathcal{U}$ sea $$ \mathcal{U}=\{f-h:f\in\mathcal{K}_s,\;h\in L_+^\infty\},$$ donde $$L_+^\infty(P) = \{ Z\in L^\infty(P):P(Z\geq0)=1\}. $$

Supongamos que existe $g \in \mathcal L^q$ con $P(g>0)=1$ tal que $$\int fgdP\leq0\hspace{1cm}\forall f\in\mathcal{U}.$$

Quiero demostrar que esto implica que los precios descontados de las acciones $(\tilde S_t^1,\tilde S_t^2,....,\tilde S_t^k)$ son $Q$ -martingales donde $dQ=gdP$ .

Mi intento : Sé que si $\int fg dP=0$ para todos $f$ en $\mathcal K_s$ entonces $(\tilde S_t^1,\tilde S_t^2,....,\tilde S_t^k)$ son $Q$ -martingales porque $1_A (\tilde S_t^i-\tilde S_s^i) \in \mathcal {K}_s$ para $A\in \mathcal G_s$ y $0 \leq s \leq t$ . Puede alguien por favor ayudarme con el caso anterior.

Answer 1

Pasos sencillos:

1. Tomemos un proceso estocástico para $S(t)$ y la cuenta de ahorro $M(t)$ . Ambos bajo la medida libre de riesgo Q.
2. Aplicar el lema de Ito para encontrar la dinámica de $\frac{S(t)}{M(t)}$ .
3. Verá que la dinámica $d\left(\frac{S(t)}{M(t)}\right)$ no tiene deriva por lo que el proceso de stock descontado $\frac{S(t)}{M(t)}$ es una martingala.

Me he saltado aquí todas las condiciones de regularidad pero debería ser suficiente para que sigas ese camino. Buena suerte.