Oye, en el método COS utilizamos la función característica de $\ln{S_T}$ para valorar las opciones europeas (recuperando la densidad de la función característica). ¿Pero cómo sabemos que la densidad existe? Por ejemplo, me gustaría utilizar este método para valorar opciones en el modelo Kou, NIG o CGMY, ¿estos procesos Levy tienen densidad y podemos utilizar este método? Conozco el teorema que dice que si la función característica es integrable, es decir $\int_{\mathbb{R}}|\phi (t)|dt<\infty $ entonces existe una densidad continua con respecto a la medida de Lebesque. ¿Es la función característica integrable para los procesos que he mencionado y en general para todos los procesos de Levy?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ejemplo: Modelo Kou
Bien, echemos un vistazo al modelo Kou $$\phi_{\ln(S_t)}(u)=\exp\left(\underbrace{\ln\left(S_0e^{(r-q+\omega)t}\right)iu}_{=(\star)}\;\;\underbrace{-\frac{1}{2}\sigma^2tu^2}_{=(\star\star)}+\underbrace{\lambda t\left(\frac{p\eta_+}{\eta_+-iu}+\frac{p'\eta_-}{\eta_-+iu}-1\right)}_{=(\star\star\star)}\right),$$ donde
- $r$ y $q$ son el tipo de interés y la rentabilidad de los dividendos
- $\sigma$ es la volatilidad
- $p$ y $p'$ son las probabilidades de los saltos hacia arriba y hacia abajo ( $p+p'=1$ )
- $\eta_+>1$ y $\eta_->0$ se relacionan con el tamaño medio del salto (inverso)
- $\omega$ es la compensación de saltos que garantiza que $S_te^{-(r-q)t}$ es una martingala.
Afirmo que podemos demostrar fácilmente que \begin{align*} \int_\mathbb{R}|\phi(u)|\text{d}u<\infty. \end{align*}
- Claramente, $|e^{(\star)}|\leq 1$ por Fórmula de Euler . Todos estos puntos se encuentran en el círculo unitario.
- Siguiente, $|e^{(\star\star)}|$ decae muy rápidamente, es como una curva de campana gaussiana. Así que $\int_\mathbb{R} |e^{(\star\star)}|<\infty$ .
- El $(\star\star\star)$ caso no es mucho más difícil. En primer lugar, el $-\lambda t$ se puede sacar de la integral y no molesta. A continuación, racionalizando el denominador, obtenemos \begin{align*} \left|\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+}{\eta_+-iu}\right)\right| &= \left|\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+(\eta_++iu)}{\eta_+^2+u^2}\right)\right| \\ &= \left|\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+\eta_+}{\eta_+^2+u^2}\right)\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+ui}{\eta_+^2+u^2}\right)\right| \\ &\leq \exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+\eta_+}{\eta_+^2+u^2}\right). \end{align*} Esto genera un mayor decaimiento exponencial como $u\to\pm\infty$ y sigue siendo finito en $u=0$ . De hecho, podemos estimar el término mediante una constante. Lo mismo ocurre con el $\eta_-$ fracción.
Por lo tanto, en general, $(\star)$ está limitada por uno, $(\star\star)$ parece una curva de campana y $(\star\star\star)$ también está acotado. En conjunto, $\phi$ decae exponencialmente rápido y está en $L^1(\mathbb{R})$ .
Algunas notas
- El Lemma de Riemann-Lebesgue nos dice que las funciones características (transformadas de Fourier) convergen a cero para $u\to\pm\infty$ . Todo lo que tenemos que demostrar es que convergen lo suficientemente rápido a cero.
- Puede hacer límites similares para el modelo NIG y otras funciones características
- Para estos procesos exponenciales de Lévy, la función de densidad de probabilidad rara vez se conoce de forma cerrada. Sin embargo, la función característica es muy sencilla. Siempre se puede obtener la FDP invirtiendo (numéricamente) la función característica de Fourier.
Sidenote: Principio de Incertidumbre
Hay que tener en cuenta el principio de incertidumbre: si $f$ se extiende, entonces su transformada de Fourier $\hat{f}$ es muy "compacto" y viceversa. La densidad del precio logarítmico de las acciones está muy repartida si el horizonte temporal $t$ es grande: hay una amplia gama de valores potenciales para el precio de las acciones dentro de 5 años. Sin embargo, la densidad del precio de las acciones de mañana tiene un pico en torno al valor de hoy. En consecuencia, la función característica está muy repartida para los vencimientos cortos, pero decae muy rápidamente para los vencimientos largos. Ejemplo de la parte imaginaria de la función característica de la distribución normal (la parte real es similar): 
