Condición de primer orden con función arbitraria

Question

Estoy tratando de utilizar un modelo de subasta para simular las ofertas en una subasta de emisiones de carbono de precio uniforme. Eso significa que sería una subasta con múltiples postores y un vendedor que vende múltiples unidades, o acciones. En una subasta de este tipo, uno puja por bloques de derechos de emisión, presentando un programa de ofertas, es decir, los precios a los que quiere comprar determinadas cantidades de derechos. Cada licitador recibe la cantidad de derechos de emisión que tiene un precio de oferta superior al precio de compensación del mercado, $p_c$ que es donde la demanda agregada se cruza con la oferta total.

Que la subasta tenga $N$ total de licitadores. La subasta tiene un precio de reserva r. Cada postor quiere hasta $y_i^{max} < \infty$ con un calendario de valoración marginal no creciente $v_{it}(q) = (v_{it}(1),...,v_{it}(y_i^{max})) \in V$ . Una oferta es un programa de precios no creciente $p_{it}() = (p_{it}(1),...,p_{it}(y_i^{max}))$ o un programa de licitación no creciente $y_{it} \equiv max(0 \leq y \leq y_i^{max}: p_{it} \leq p)$ . Establecer $p_it(0) = \infty$ y $\forall y > y_i^{max}, p_{it}(y) = 0$ . Cada licitador se enfrenta a una oferta residual $RS_{-i} = Q_t - \sum_{k=1, k \neq i}^{N}y_{kt}(p)$ .

Cada licitador quiere resolver el problema $\int_{r}^{\infty}[\int_{0}^{y_i(p_c)}v_i(u)du - p_c*y_i(p_c)]dG(p_c|y_i(p))$ , donde $G(p_c|y_i(p))$ es la distribución de los precios de compensación del mercado. También podemos utilizar $H$ en su lugar, donde $H = Pr[y_i(p) \leq RS_{-i}(p)]$ .

Dejemos que $\pi(p_c) = \int_{0}^{y_i(p_c)}v_i(u)du - p_c*y_i(p_c)$ o el beneficio obtenido al precio de compensación del mercado. Entonces, $\frac{\partial \pi}{\partial p_c} = y_i'(p)*v_i(y(p)) - y_i(p) - py_i'(p)$ . $\pi(\infty) = 0$ porque nadie estaría dispuesto a comprar derechos de emisión a ese precio.

Si utilizamos la integración por partes (y H) para reescribir el problema que resuelve cada licitador, creo que obtendríamos $$ -\pi(r)H(r, y_i(r)) - \int_{r}^{\infty}(y_i'(p_c)*v_i(y(p_c)) - y_i(p_c) - py_i'(p_c))H(p_c, y(p_c))dp_c $$ En este punto estoy un poco confundido. Dado que $y_i$ es la estrategia de puja del postor i, que es lo único que puede cambiar para maximizar su beneficio. Por lo tanto, para maximizar con respecto a ella, la condición de primer orden se tomaría con respecto a y. Mi confusión es que y es una función, por lo que no estoy seguro de si funciona igual que un parcial con una variable de valor real. Me han dicho que tiene que ver con el libro de Kamien y Schwartz de 1993 sobre el cálculo de variaciones, pero no estoy familiarizado con esto (acabo de pasar por el cálculo multivariable). ¿Estoy buscando en el lugar equivocado, o es esto mucho más simple de lo que creo que es? Agradecería cualquier ayuda u orientación.

Answer 1

La idea del cálculo de variaciones es partir de una solución óptima $y_i^\ast(p)$ (suponiendo que exista) y observar pequeñas perturbaciones de la forma $$ y_i(p) = y_i^\ast(p) + \varepsilon \eta(p). $$ Aquí $\eta(p)$ es una función continua (suave) de $p$ y $\varepsilon \in \mathbb{R}$ . En función de las condiciones de contorno o de forma de $y_i$ , condiciones de contorno o de forma adecuadas en $\eta(p)$ tienen que ser impuestas. No sé si este es el caso aquí, así que voy a ignorarlos.

Obsérvese que como $y_i^\ast(p)$ es óptimo, será (localmente) óptimo establecer $\varepsilon = 0$ y esto para todas las opciones adecuadas de $\eta(p)$ .

Dejemos que $g(p|y)$ sea la densidad de $G(p,|y)$ . Conectémonos $y_i(p) = y_i^\ast(p) + \varepsilon \eta(p)$ en la función objetivo. $$ V(\varepsilon) = \int_r^\infty\left( \left[\int_0^{y_i(p)^\ast + \varepsilon \eta(p)} v_i(u) du\right] - p (y_i^\ast(p) + \varepsilon \eta(p))\right) g(p_c|y_i^\ast(p)+ \varepsilon \eta(p)) dp_c $$

Entonces, suponiendo un óptimo local (interior) en $\varepsilon = 0$ podemos tomar la condición de primer orden con respecto a $\varepsilon$ y evaluarlo igual a $0$ en $\varepsilon = 0$ (toco madera y no cometí ningún error): $$ \begin{align*} \frac{d V}{d \varepsilon}(0) &= \int_r^\infty \left[v_i(y_i^\ast(p))\eta(p) - p \eta(p)\right]g(p|y^\ast) dp\\ &+ \int_r^\infty \left(\left[\int_0^{y_i^\ast(p)} v_i(u) du\right] - p y_i^\ast(p)\right)\dfrac{\partial g}{\partial y}(p|y_i^\ast(p))\eta(p) dp = 0 \end{align*} $$ Ahora, podemos factorizar la función $\eta(p)$ bajo la integral exterior. Además, dado que esto tiene que cumplirse para toda función suave $\eta(p)$ el valor bajo la integral tiene que ser cero para todo $p$ . Así, obtenemos la condición de que para todo $p$ : $$ \begin{align*} &\left(v_i(y^\ast(p)) - p\right) g(p|y^\ast(p)) + \frac{\partial g}{\partial y}(p|y_i^\ast(p)) \left(\int_0^{y^\ast(p)} v_i(u) du - p y_i^\ast(p)\right) = 0\\ \leftrightarrow &\left(v_i(y^\ast(p)) - p\right) g(p|y^\ast(p)) + \pi(p) \frac{\partial g}{\partial y}(p, y_i^\ast(p)) = 0 \end{align*} $$ No sé si esto tiene sentido.