Varianza asintótica frente a varianza condicional en el cálculo de los errores estándar de los estimadores de regresión

Question

Me dan un modelo de regresión $y_i=x_i^T\beta+\varepsilon_i$ con heteroscedasticidad.

Dejemos que $Avar(b)=E[x_ix_i^T]^{-1}E[\varepsilon_i^2x_ix_i^T]E[x_ix_i^T]^{-1}$

El libro de Hayashi afirma que los coeficientes de regresión son asintóticamente normales:

$\sqrt{n}(b-\beta) \rightarrow^{D} N(0, Avar(b))$ por lo tanto $b\sim N(\beta, Avar(b)/n)$ asintóticamente para un n suficientemente grande.

Además, Hayashi afirma que el error estándar de $b_k$ es precisamente $\sqrt{Avar(b)_{kk}/n}$ donde $Avar(b)_{kk}$ implica el elemento kk de la diagonal.

Pregunta:

¿Por qué utilizamos $\sqrt{Avar(b)_{kk}/n}$ como medida de error estándar en lugar de $\sqrt{V(b|X)_{kk}}$ donde $V(b|X)$ es la varianza condicional de b?

Estoy confundido porque antes en el libro menciona que se debe utilizar la varianza condicional. Por ejemplo, especificó que en el caso de muestra finita bajo homocedasticidad condicional el error estándar de $b_k$ fue precisamente:

$\sqrt{V(b|X)_{kk}}=\sqrt{\sigma^2(X^TX)^{-1}}$ con $\sigma^2=E[\varepsilon_i^2|X]$

Answer 1

Así que la varianza asintótica en la primera expresión que das es la varianza bajo heteroskedasticidad como notas. La definición que diste de $V(b|X)$ está bajo la homoscedasticidad. Como dice uno de los comentarios, podríamos utilizar $V(b|X)$ (como usted lo define) bajo este supuesto. Parece que Hayashi utiliza esta notación porque quiere considerar los errores heterocedásticos.