Nunca he hecho esos ejercicios de purificación, pero yo lo enfocaría así. Como usted dice, $p=Pr(\epsilon_1>\frac{1-2q}{x})=1-Pr(\epsilon_1<\frac{1-2q}{x})=1-F (\frac{1-2q}{x}),$ $q=Pr(\epsilon_2>\frac{2p-1}{x})=1-Pr(\epsilon_2<\frac{2p-1}{x})=1-G (\frac{2p-1}{x}),$
donde $F$ y $G$ son las fdc correspondientes a las densidades $f=F'$ y $g=G'$ . Como son cdfs, son débilmente crecientes. Para simplificar, supongamos que son estrictamente crecientes para que sus inversas existan claramente (es decir, asumo un soporte completo. Si hubiera agujeros, aún se podría definir adecuadamente alguna inversa para las partes planas).
Entonces, combina esas dos ecuaciones para $1+x F^{-1}(1-p) - 2 G (\frac{2p-1}{x})=0$ (y otra formulación similar para q). El lado izquierdo de esta fórmula disminuye en $p$ . Tenga en cuenta que para $p=0$ tenemos $1+xF^{-1}(1)-2G(\frac{-1}{x})=1+x-0>0$ en el LHS tal que la ecuación nunca se cumple, $p$ debe ser mayor que cero. Para $p=1$ , tienen en el LHS $1+xF^{-1}(0)-2G(1/x)=1-2G(1/x)$ que puede ser mayor o menor que 0. Es decir, para algunos $x$ existe un equilibrio de estrategia pura con $p=1$ y para otros existe un equilibrio de estrategia mixta con $p<1$ .
Ahora considere la misma ecuación que resuelve la estrategia mixta y añada $p=\frac{1-x}{2}$ tal que el LHS anterior es $1+xF^{-1}(\frac{1+x}{2})- 2 G(-1)=1+x F^{-1}(\frac{1+x}{2})- 0>0$ para los pequeños $x$ , lo que significa que tenemos que aumentar $p$ para ajustar la ecuación de equilibrio LHS=0.
A continuación, considere la misma ecuación que resuelve la estrategia mixta y añada $p=\frac{1+x}{2}$ tal que el LHS anterior es $1+xF^{-1}(\frac{1-x}{2})- 2 G(1)=x F^{-1}(\frac{1+x}{2})-1<0$ para los pequeños $x$ , lo que significa que tenemos que disminuir $p$ para ajustar la ecuación de equilibrio LHS=0.
Así, para las pequeñas $x$ el equilibrio $p$ es tal que $p\in [\frac{1-x}{2},\frac{1+x}{2}]$ , dejando sólo al candidato $p\to \frac{1}{2}$ como $x\to0$ .
