Demostrar que AC se minimiza cuando MC=AC

Question

Estoy tratando de demostrar que AC es mininimizado cuando AC=MC

Esto es lo lejos que estoy:

FOC:

Mostrar lo que quiero demostrar

SOC:

Esto tiene que ser positivo para asegurar que la CA se minimiza, pero ¿cómo puedo concluir eso?

Espero que alguien pueda ayudar :)

Answer 1

Estás complicando esto más de lo necesario.

Editar: Vale que es un poco más complicado de lo que pensaba pero ¡eh! ¡Qué resultado más chulo!

$AC = \frac{C(q)}{q} \\ MC = C'(q)$

Cuando se minimiza $AC$ con respecto a $q$ ,

$$\frac{\partial AC}{\partial q} = \frac{C'(q) \cdot q - C(q)}{q^2} = 0$$ $$\implies C'(q) \cdot q - C(q) = 0$$ $$\implies C'(q) \cdot q = C(q)$$ $$\implies C'(q) = \frac{C(q)}{q}$$

Entonces el coste marginal es igual al coste medio. Que parece ser lo que has obtenido hasta ahora.

Así que ahora comprobamos las condiciones de segundo orden:

$$\frac{\partial AC}{\partial q} = \frac{C'(q)}{q} - \frac{C(q)}{q^2}$$ $$\frac{\partial^2 AC}{\partial q^2} = \frac{C''(q) \cdot q - C'(q)}{q^2} - \frac{C'(q) \cdot q^2 - C(q) \cdot 2q}{q^4}$$

¿Qué hace que esta expresión sea mayor que cero?

$$\frac{\partial^2 AC}{\partial q^2} = \frac{C''(q) \cdot q - C'(q)}{q^2} - \frac{C'(q) \cdot q^2 - C(q) \cdot 2q}{q^4} > 0$$ $$\implies \frac{C''(q) \cdot q - C'(q)}{q^2} > \frac{C'(q) \cdot q^2 - C(q) \cdot 2q}{q^4}$$ $$\implies C''(q) \cdot q - C'(q) > \frac{C'(q) \cdot q^2 - C(q) \cdot 2q}{q^2}$$ $$\implies C''(q) \cdot q - C'(q) > C'(q) - \frac{2C(q)}{q}$$ $$\implies C''(q) \cdot q > 2\left(C'(q) - \frac{C(q)}{q}\right)$$ $$\implies C''(q) > 2\left(C'(q) \cdot q - C(q)\right)$$

Pero recuerda que dada la primera derivada,

$$C'(q) = \frac{C(q)}{q}$$ $$\implies C'(q) \cdot q = C(q)$$

Así que sustitúyelo en lo anterior:

$$\implies C''(q) > 2\left(C(q) - C(q)\right)$$ $$\implies C''(q) > 0$$

Y esto es cierto siempre que la curva de costes totales sea convexa, lo cual es un supuesto bastante habitual. (Supongo que también la producción positiva tiene que ser una cosa, así que básicamente la empresa tiene que no estar cerrada). Así que hemos terminado.