¿Son las preferencias lexicográficas estrictamente monótonas?

Question

Estoy un poco confundido sobre las preferencias lexicográficas y si cumplen con el axioma de monotonicidad estricta.

La definición que nos dieron para la monotonicidad estricta es:

Para dos paquetes cualesquiera $x$ y $y$ , si $x_i \succsim y_i$ para cada bien $i$ entonces $x$ es estrictamente preferible a $y$

Las preferencias se resumen a continuación:

(1) El paquete que tiene más cantidad del bien 1 es mejor, independientemente de la cantidad del bien 2.

(2) Si la cantidad del bien 1 es la misma, el paquete que tiene más del bien 2 es mejor.

Estoy confundido sobre la parte (1), porque un paquete puede tener mucho más del bien 2 pero seguir siendo preferido si tiene un poco más del bien 1, por ejemplo. $(2,5)$ es preferible a $(1,100)$ aunque tenga mucho más. Seguramente eso no puede seguir la definición proporcionada de monotonicidad estricta (o estoy muy espeso).

Gracias.

Answer 1

Parece que no estás confundido con la parte (1) porque eso es exactamente lo que significa.

Las preferencias lexicográficas son monótonas. La monotonicidad significa que más es mejor. Si tengo más de cada bien del conjunto, entonces me gusta más ese conjunto. Esto sigue siendo cierto para las preferencias lexicográficas, aunque haya partes del conjunto que no importen. Una condición para la monotonicidad es, por ejemplo, que se prefiera (5,4) a (3,1). En otras palabras, si 5>3 y 4>1, se prefiere el primer conjunto. Esto es cierto para las preferencias lexicográficas.

Sin embargo, tus definiciones de monotonicidad estricta y preferencias lexicográficas parecen desviarse un poco de las definiciones convencionales. Aquí hay una prueba utilizando sus definiciones.

Prueba:

Comparemos dos paquetes con $n$ elementos cada uno: $x=(x_1, x_2, ..., x_n)$ y $y=(y_1, y_2, ...,y_n)$

Lo mejor es empezar con la afirmación "si" cuando se trata de probar tales afirmaciones. La condición y, por tanto, el punto de partida es $x_1>y_1$ y $x_2>y_2$ , .... y $x_n>y_n$ .

En ese caso, ya que $x_1>y_1$ tenemos según su definición de preferencia ese paquete $x$ es preferible a la agrupación $y$ . Además tenemos que el haz $y$ no es preferible a la agrupación $x$ . Así que el paquete $x$ es estrictamente preferible.

Por lo tanto, hemos demostrado que si $x_i$ > $y_i$ para cada $i$ entonces $x$ es preferible (porque en ese caso $x_1 > y_1$ ), que es su definición de monotonicidad. Por tanto, las preferencias son monótonas.