Encontrar la demanda hicksiana Cobb-Douglas utilizando la dualidad

Question

Estoy intentando seguir los ejemplos del texto de Mas-Colell. Puedo confirmar que tengo las condiciones de primer orden correctas y, por tanto, las funciones de demanda marshallianas para el ejemplo 3.D.1: $u(x_1,x_2) = x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}$ sujeto a la restricción presupuestaria, $p_1x_1 + p_2x_2 =w$ . Al repasar el ejemplo y tomar a Lagrange, encontré que las exigencias marshallianas son $x_1(p,w)=\frac{\alpha w}{p_1}$ y $x_2(p,w)=\frac{(1-\alpha) w}{p_2}$ . Bien.

La parte que me cuesta es encontrar la demanda hicksiana, sabemos por 3.E.4 que $x(p,w)=h(p,v(p,w))$ , donde $v(p,w)$ es la utilidad indirecta, queda claro que podemos encontrar la utilidad indirecta sustituyendo nuestras funciones de demanda marshallianas en $u(p,w)$ .

Intento encontrar v(p,w) sustituyendo la demanda marshalliana por $x_2$ en el $u(x_1,x_2)$ : V(p,w)= $(\frac{\alpha w}{p_1})^\alpha [ \frac{(1-\alpha)m}{p_2} ] ^{1-\alpha}$

Citando los apuntes que me dio mi tutor, "lo marshalliano es hicksiano si sustituimos la utilidad por la función de utilidad indirecta:

$x^*(p,w)=h^*(p,V(p,w))$

He llegado a un pequeño callejón sin salida, tengo la función de utilidad indirecta, pero no sé cómo obtener la demanda hicksiana.

Answer 1

Has encontrado la función de valor $V(p,I)$ que en su caso se da como

$$V(p,I) = \alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}\frac{I}{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}},$$

donde $\alpha_2 = 1- \alpha_1$ y $I$ es el ingreso.

La demanda de Hicks es una función del nivel de utilidad denotada $u$ . Un agente que se enfrenta a los precios $p$ e ingresos $I$ obtiene utilidad $V(p,I) = u$ . Por lo tanto, puede establecer

$$u = \alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}\frac{I}{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}},$$

e invertir para resolver $I$ para conseguir

$$\frac{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}}{\alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}}u = I,$$ que es la función de gasto. Puede insertar esto en su demanda de Marshall

$$\frac{\alpha_j I}{p_j} = \left(\frac{\alpha_j}{p_j}\right)\frac{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}} {\alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}}u = h^\star(p,u).$$

O en el caso de $J$ de los bienes: Tienes preferencias de CD con la conocida demanda de Marshall

$$(1)\ \ x^\star_j(p,I) = \frac{\alpha_j I}{p_j} \Leftrightarrow \frac{x_j}{\alpha_j} = \frac{I}{p_j},$$

y la función de utilidad es

$$(2) \ \ U(x) = \prod_j x_j^{\alpha_j} = A \prod_j \left(\frac{x_j}{\alpha_j} \right)^{\alpha_j},$$ donde $A := \prod_j \alpha_j^{\alpha_j}$ la constante $A$ sirve para facilitar un poco el álgebra. Insertando de (1) en (2) se obtiene la función de valor

$$V(p,I) = A \prod_j \left(\frac{I}{p_j} \right)^{\alpha_j} = \frac{AI}{\bar p},$$ donde $\bar p:= \prod_j p_j^{\alpha_j}$ y $I$ es constante en todos los productos y, por lo tanto, no está limitado por el índice, por lo que cuando $\sum_j \alpha_j = 1$ it $\prod_j I^{\alpha_j} = I$ . A partir de aquí se aíslan los ingresos para obtener

$$\frac{\bar p}{A}V(p,I) = I$$

entonces se inserta esto en la demanda de Marshall para obtener

$$x^\star(p,I) = x^\star\left(p,\frac{\bar p V(p,I)}{A}\right) = h^\star(p,V(p,I)).$$

Conocer la demanda de Marshall $\alpha_j I/p_j$ insertar $\bar p V(p,I)/A$ con $V(p,I)$ para conseguir

$$h^\star(p,V(p,I)) = \frac{\alpha_j}{p_j} \frac{\bar p V(p,I)}{A} ,$$

dejar $V(p,I) = u$ para conseguir

$$h^\star(p,u) = \frac{\alpha_j}{p_j} \frac{\bar p u}{A} = \frac{\alpha_j}{p_j} E(p,u),$$

donde $E(p,u)= \frac{\bar p u}{A}$ es función de gasto (esto se deduce del hecho de que llegamos a $\bar p u/A$ como expresión de la renta invirtiendo la función de valor).

Answer 2

Yo prefiero otro enfoque. Utilizo la dualidad para encontrar el función de coste y luego usar el Lemma de Shepard para derivar las demandas hicksianas. Lo demostraré a continuación para el caso simple de 2 bienes, en lugar de hacerlo de forma general, por simplicidad.

Comience con la función de utilidad indirecta: $$V(p,I) = \alpha_1^{\alpha_1}\alpha_2^{\alpha_2}\frac{I}{p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}} = \left(\frac{\alpha_1}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{\alpha_2}{p_2}\right)^{\alpha_2}I$$ y utilizamos la dualidad para imponer que $V(p,I)=u$ y $C(p,u) = I$ en el valor óptimo de estas funciones (la solución del problema de maximización de la utilidad es la misma que la del problema de minimización de costes, puedes explorar este concepto en tu tiempo libre).

Entonces podemos resolver para $C(p,u)$ sustituyendo las relaciones anteriores: $$u=\left(\frac{\alpha_1}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{\alpha_2}{p_2}\right)^{\alpha_2}C(p,u)$$ entonces deja que $A:=\left(\frac{\alpha_1}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{\alpha_2}{p_2}\right)^{\alpha_2}$ para simplificar, lo anterior puede representarse como $u=AC(p,u)$ lo que implica que la función de costes es $C(p,u) = A^{-1}u$ Por lo tanto $$C(p,u) = \left(\frac{p_1}{\alpha_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{p_2}{\alpha_2}\right)^{\alpha_2}u$$

Ahora que tenemos la forma de la función de costes, podemos invocar el lema de Shepard, que establece que la derivada de la función de costes con respecto al precio de un bien nos da la demanda hicksiana de dicho bien. Piénsalo en términos de la restricción presupuestaria: $p_{1}x_1 + p_{2}x_2 \leq I$ , donde $I$ sería nuestro gasto en caso de que esta restricción fuera vinculante. Si tenemos valores óptimos para $x_i$ Entonces, tomando una derivada de la restricción/gasto con respecto a, digamos, $p_1$ debería darnos $x_{1}^*$ ¿verdad?

El lema de Shepard puede escribirse sucintamente como $$\frac{\partial c(p,u)}{\partial p_i} = h_{i}(p,u)$$

Así, para la demanda hicksiana del bien 1, por ejemplo, sería $$h_{1}(p,u) = \frac{\partial C(p,u)}{\partial p_{1}} = \frac{1}{\alpha_1}\alpha_{1}\left(\frac{p_1}{\alpha_1}\right)^{\alpha_1-1}\left(\frac{p_2}{\alpha_2}\right)^{\alpha_2}u = \left(\frac{p_1}{\alpha_1}\right)^{\alpha_1-1}\left(\frac{p_2}{\alpha_2}\right)^{\alpha_2}u$$