Como primera observación: los axiomas de Anscombe-Aumann, en particular la Independencia, se definen sobre actos que llevan el espacio de estados a un espacio lineal (generalmente loterías simples sobre objetos de consumo). Incluso cuando consideramos la restricción del modelo a actos puramente inciertos desde el punto de vista subjetivo, seguimos necesitando emplear el modelo completo o perderemos información.
Dicho esto: Dejemos que $S$ sea un espacio de estados finito, y $X$ un conjunto finito de alternativas. Sea $\Delta(X)$ denotan todas las loterías sobre $X$ y $f: S \to \Delta(X)$ es un acto. Para un acto $E \subseteq S$ , dejemos que $f_{-E}g$ sea el acto definido por $$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$
Ahora, podemos decir que nuestro modelo satisface la principio de seguridad si $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ y $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ entonces $f \succsim g.$ Esta definición es válida para todos los actos, no sólo para los que carecen de riesgo objetivo, pero es evidente que sólo se puede considerar la proyección pertinente.
Asume el antecedente de la STP. Desde $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ y la independencia tenemos que $$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ Obsérvese que podemos reescribir esto como $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ y, aplicando de nuevo la independencia, obtenemos \begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}
De forma análoga, desde $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ y la independencia tenemos que $$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ De nuevo, podemos reescribirlo como $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ y, aplicando de nuevo la independencia, obtenemos \begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}
Combinando (1) y (2) mediante la transitividad se obtienen las relaciones deseadas. Volviendo a la observación previa, nótese que para aplicar la independencia, necesitamos mezclar actos, apelando al riesgo objetivo. Así, incluso cuando $f$ , $g$ y $h$ no tienen ningún riesgo objetivo, seguimos necesitando actos de riesgo que sirvan de intermediarios en la prueba. En cierto sentido, esta es la gran idea de todo el marco de AA: utilizar el riesgo objetivo para evitar la necesidad de un espacio de estados infinito utilizando la linealidad de las expectativas para forzar el STP.
Obsérvese que sólo se ha utilizado la independencia y la transitividad. Esto debería indicar que incluso la UE dependiente del estado (donde falla la monotonicidad / independencia del estado) o la UE de Bewley (donde se relaja la completitud) seguirán satisfaciendo la STP.
Editar en respuesta a un comentario: Llamemos a la noción anterior del principio de seguridad STP1 y decir que la preferencia satisface STP2 si $f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$ para todos $f,g,h,h'$ . Entonces, si $\succsim$ es un preorden, satisface STP1 si y sólo si satisface STP2.
En primer lugar, supongamos que STP2 se mantiene y que $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ y $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$ . Entonces por STP2 tenemos $$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ La transitividad implica $f \succsim g$ ; STP1 se mantiene.
A continuación, supongamos que STP1 se mantiene y $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$ . Definir $\hat f = f_{-E}h'$ y $\hat g$ análogamente. Por definición $$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ por lo que nuestra suposición es idéntica a la de \begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation} Más información en $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ por lo que tenemos, por la reflexividad de la preferencia, que \begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation} Ahora podemos aplicar STP1 a (3) y (4) para obtener que $\hat f \succsim \hat g$ que, dada su definición, es exactamente lo que necesitamos demostrar para que se cumpla STP2.
