¿I(1) implica que un proceso está cointegrado con su retardo?

Question

Mi pregunta es sobre la definición de cointegrado.

$y_t =y_{t-1}+u_t$

$u_t =\eta_t +0.5\eta_{t-1}$

donde $\eta_t\sim N(0,1)$ es ruido blanco i.i.d.

Afirmo que $y_t$ y $y_{t-1}$ están cointegrados porque $y_t -y_{t-1}=u_t$ es estacionario y ambos $y_t$ y $y_{t-1}$ son no estacionarios.

¿Es ésta una aplicación correcta de la definición? Sé que sería más estándar considerar simplemente $y_t$ como I(1), pero si dijera $y_t$ y $y_{t-1}$ están cointegradas, ¿es una afirmación matemáticamente correcta?

EDIT: En primer lugar, gracias a todos los que han ayudado. El "intento" falla como describe 1muflon1.

EDIT2: Algunas personas no están satisfechas con las respuestas, y un debate en curso es aquí .

Answer 1

Estás confundiendo el concepto de cointegración con el de integración. Si una serie

$y_t−y_{t−1}=u_t$ es estacionario

entonces la serie es integrada de orden 1 no cointegrada. El término co -la integración se utiliza específicamente cuando tenemos algún $y_t−\beta x_{t}=u_t$ y $u_t$ es estacionario, eche un vistazo a este tutorial del Banco de la Reserva de Australia sobre series temporales .

Answer 2

Sólo para añadir a las respuestas ya dadas. Creo que la forma más fácil de ver que esto no puede ser así es utilizando una formulación CVAR. Para una referencia, véase Johansen y Juselius (1990) ( https://digidownload.libero.it/rocco.mosconi/JohansenJuselius1990.pdf )

Consideremos el vector bivariante $x_t = \left\{ \begin{array}{c} y_{t}\\ y_{t-1} \end{array}\right\}$

Que podemos suponer que sigue un proceso autorregresivo con retardo 1 como

$x_t = cx_{t-1} + v_t$

EDIT: donde si $c=I_2$ entonces estamos en el caso especial de interés. Además, dejamos los residuos sin restringir, de manera que $v_t=(u_t, u_{t-1})'$ .

Podemos reescribir esto sin pérdida de información como

$\Delta x_t = b x_{t-1} + v_t$ donde $b=c-I_2$

El sistema es estacionario en niveles cuando el rango está lleno; es decir $rank(b)=2$ .

El sistema es estacionario de diferencia cuando $rank(b)=0$ ; Es decir $b=0$ .

La cointegración es el caso entre estos dos casos en el que existe una restricción de rango reducido tal que $rank(b)=1$ es decir, se puede descomponer $b=\alpha\beta$ .

Basándose en estas definiciones está claro que su caso en el que $b=0$ definitivamente no está cointegrada.

Answer 3

¿I(1) implica que un proceso está cointegrado con su retardo?

No. Por definición La cointegración es una propiedad de múltiples variables de series temporales de las que todas están integradas del mismo orden. Véanse las definiciones de los procesos cointegrados en Pesaran Time Series and Panel Data Analysis pp 517, o Hamilton Time Series Analysis pp 571.

De hecho, permítanme citar a Hamilton [el énfasis es mío]:

Un $(n \times 1$ ) vector serie temporal $\textbf{y}_t$ se dice que cointegrado si cada una de las series tomadas individualmente es $I(1)$ es decir, no estacionaria con root unitaria, mientras que alguna combinación lineal de las series $\textbf{a'y}_t$ es estacionario, o $I(0)$ para un valor no nulo de $(n \times 1)$ vector $\textbf{a}$ .

Por definición, la variable no puede estar simplemente cointegrada consigo misma. Se necesitan al menos dos series separadas $y_{1t}$ , $y_{2t}$ para poder hablar de cointegración.

Los rezagos de una variable no constituyen nueva serie . Por definición, siguiendo a Hamilton pp 43:

$\{y_t\}^\infty_{t=-\infty}= \{...y_{-1},y_0, y_2, ..., y_{t},y_{t+1}, y_{t+2}...\},$

la secuencia infinita $\{y_t\}^\infty_{t=-\infty}$ seguiría viéndose como una única realización de un proceso de serie temporal.

Los rezagos de una serie temporal no representan un nuevo proceso de serie temporal.