Programación cuadrática y de cresta para la optimización de la norma de la cartera

Question

Muy parecido a este post: https://stats.stackexchange.com/questions/119795/quadratic-programming-and-lasso Estoy tratando de integrar la Penalización RIDGE en un solucionador cuadrático dedicado. En mi caso, estoy trabajando con quadprog de MATLAB. A diferencia de LASSO, donde se puede eliminar el valor absoluto en la forma restringida y reescribirlo en forma lineal (manteniendo efectivamente un problema cuadrático), no se puede con RIDGE. Esto significa que para tener un problema cuadrático, tengo que trabajar con la forma de penalización:

$$ RIDGE: \sum_{i=1}^{N} (y - x'\beta)^2 + \lambda \sum \beta_{i}^{2}$$

Mi problema explícito es minimizar la varianza con la penalización RIDGE añadida.

$${\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w' \Sigma w \ + \lambda \sum w_i^{2}$$ $$s.t. \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1$$

Básicamente, quiero minimizar la varianza mientras sumo los pesos a 1. Un problema bastante estándar en finanzas. Mi pregunta es: ¿Cómo adaptar la función objetivo para que incluya la penalización? Cuando se trabaja con un solucionador dedicado como quadprog sólo se puede especificar la matriz cuadrada definida positiva y el vector para los términos no cuadrados. Con la formulación siguiente, se especifica entonces $H$ y $f$ . Enlace: https://www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html

$${\underset{x}{\arg\min}} \frac{1}{2} x' H x \ + f'x$$

Puedo modificar H (que es mi matriz de covarianza), pero esto cambiaría el número de valores en mi $w$ vector, o podría trabajar con $f'$ pero esto es para el término no cuadrado. Necesito implementar $\lambda x'x$ en mi función objetivo, que es igual a $\lambda \sum x_i^{2}$ .

Answer 1

El modelo que se le asignó proviene del siguiente documento:

• de Miguel et al (2009) Un enfoque generalizado de la optimización de carteras: Mejora del rendimiento mediante la restricción de las normas de la cartera

En lugar de utilizar un término de penalización aditivo, la contracción de la cresta del vector de pesos de la cartera debería, o funciona mejor, como una restricción independiente:

$${\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w' \Sigma w \ $$

\begin{aligned} s.t. & \sum w_i^{2} \leq \delta^2 \\ & \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1 \end{aligned}

donde $\delta$ tiene una correspondencia inversa de uno a uno con $\lambda$ . En otras palabras, en lugar de aumentar $\lambda$ para que los pesos de la cartera sean menores, se disminuye $\delta$ para conseguir el mismo efecto de regularización.

Esto es lo que se entiende por adaptar la función objetivo para la penalización. La fórmula de regresión lineal mostrada en primer lugar se adapta mejor a la Enfoque Lagrangeano a la regularización, mientras que la fórmula de optimización (segunda) que has mostrado se adapta mejor a la enfoque de optimización restringida de regularización, y también desvía las preocupaciones de la optimización no lineal ya que la función objetivo principal (varianza de la cartera) que escribí es cuadrática tal cual, mientras que las dos restricciones son lineales. Ambos enfoques son equivalentes debido a la correspondencia uno a uno entre $\lambda$ y $\delta$ .

Si insiste en utilizar el aditivo $\lambda$ el objetivo se reduciría a la conocida solución analítica de forma cerrada para el matriz de covarianza de la cresta donde $I$ es una matriz de identidad del tamaño de $\Sigma$ .

$${\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w'(\Sigma + 2\lambda I)w$$ $$s.t. \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1$$