Problema del modelo Vasicek

Question

Estoy analizando un problema donde se da lo siguiente

Modelo Vasicek con dinámica de riesgo neutro $$dr_t = \kappa (\theta - r_t)dt + \sqrt{r_t} dW_t \quad \quad (1) $$

precios de los bonos $$P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r_t} \quad \quad (2)$$ , donde $$B(t,T)= \frac{1- e^{-\kappa (t-T)}}{\kappa} \quad \quad (3)$$ $$A(t,T)= (B(t,T)-(T-t))(\theta-\frac{\sigma^2}{2 \kappa^2})-(\frac{\sigma^2 B(t,T)^2}{4 \kappa}) \quad \quad (4)$$

Usando la fórmula de Ito estoy derivando el $r_t(\tau)$ (tipo de interés al contado compuesto continuamente con vencimiento constante $\tau$ ) donde $\tau$ es constante y $r_t(\tau)=r(t,t+\tau)$ .

$$r(t,t+\tau)=\frac{-log(P(t,t+\tau))}{\tau} \quad \quad (5)$$ sustituyendo A y B se obtiene $$r(t,t+\tau)=\frac{-A(\tau)}{\tau}+ \frac{r_t}{\tau} B(\tau) \quad \quad (6)$$ aplicando la fórmula de Ito donde $\quad f'(r_t)=\frac{B(t,\tau)}{\tau} \quad$ y $\quad f''(r_t)=0$ $$dr_t(\tau) = f'(r_t)dr_t + \frac{1}{2} f''(r_t) d<r>_t \ = \ \frac{B(t,\tau)}{\tau} dr_t \quad \quad (7) $$

sustituyendo al $dr_t$ me da la ecuación $$dr_t(\tau)= \frac{B(t,\tau)}{\tau}(\kappa (\theta - r_t)dt + \sqrt{r_t} dW_t)) \quad \quad (8)$$

La respuesta final que obtuve es diferente a la sugerida por el manual de soluciones $dr_t(\tau)= \frac{B(t,\tau)}{\tau}(\kappa (\theta - r_t)dt + \frac{B(t,\tau)}{\tau} dt \quad$ lo cual es confuso.

Mis preguntas
El modelo de Vasicek se da en este problema en una forma diferente a la que se suele ver en los libros $dr_t = \kappa (\theta - r_t)dt + \sigma dW_t $ ¿es esto un spoiler? ¿cómo debe analizarse?

segundo
en la ecuación final hace $\sqrt{r_t} dW_t$ se traduce en $dt$ ?

Answer 1

Para empezar, el modelo de tipos cortos que mencionas en la ecuación (1) es Cox-Ingersoll-Ross, mientras que el precio de los bonos en las ecuaciones (2)-(4) corresponde al modelo Vacisek. Así que hay un problema en alguna parte, yo apostaría por una errata en (1).

En segundo lugar, lo que has escrito me parece bien, así que definitivamente debe haber otra errata en tu manual de soluciones. Tenga en cuenta que si no hay $dW_t$ término en la SDE para la tasa $r(t,t+\tau)$ como parece que se afirma en su manual, entonces esta cantidad sería predecible, lo que anula el propósito de establecer un modelo estocástico de tipos de interés en primer lugar.