Demuestre que la integral de Riemann sobre BM es un proceso gaussiano

Question

Estoy viendo el proceso

$$X_t = \int_0^tB_udu$$

Sé que es un proceso gaussiano con varianza $t^3/3$ . Sin embargo, me gustaría mostrar manualmente la primera declaración directamente.

Para ello, me gustaría calcular la transformada de Laplace y demostrar que es la MGF gaussiana. Pero la integral en el proceso hace que eso sea un poco difícil. Mi proceso de pensamiento que me lleva a un resultado ligeramente equivocado es:

Sabemos que $B_t \sim \sqrt{t}B_1$ . Así: $$E\left[e^{\alpha X_t}\right] = E\left[e^{\alpha\int_0^tB_udu}\right] = E\left[e^{\alpha B_1\int_0^t\sqrt{u}du}\right],$$ que ahora puedo integrar con respecto a $B_1$ . Pero eso me lleva a un MGF que está ligeramente fuera, así que sospecho que no puedo hacer esta transformación.

¿Cuál sería la forma matemáticamente correcta de calcular el MGF de $X$ ¿Aquí?

Edición: Sólo para ser claros, por supuesto que se puede hacer esto con varias maneras, sin embargo, tengo curiosidad por saber cómo tratar esta situación específica - si es posible en absoluto.

Answer 1

Suponemos que trabajamos en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ equipado con la filtración $\{\mathcal{F}_t\}_t$ . Por el Lemma de Itô: $$B_t\text{d}t=\text{d}\left(tB_t\right)-t\text{d}B_t$$ Por lo tanto: $$X_t=tB_t-\int_0^tu\text{d}B_u$$ Definamos la función $\theta(t) :=\sqrt[3]{3t}$ y la filtración $\mathcal{F}^\theta_t:=\mathcal{F}_{\theta(t)}$ . Introduzca el siguiente proceso: $$Y_t=\int_0^{\theta(t)}s\text{d}B_s$$ $Y_t$ es una martingala local con respecto al movimiento browniano con $Y_0=0$ por lo que su variación cuadrática es: $$\begin{align} [Y,Y]_t=\int_0^{\theta(t)}s^2\text{d}s=\left[\frac{s^3}{3}\right]_0^{\theta(t)}=t \end{align}$$ Del teorema de caracterización de Levy se deduce que $Y_t$ es un movimiento browniano en la filtración $\mathcal{F}^\theta_t$ y por lo tanto es gaussiano.

Además, el movimiento browniano con cambios en el tiempo $\theta(t)B_{\theta(t)}$ también sigue siendo gaussiano con respecto a la filtración $\mathcal{F}^\theta_t$ . En efecto, la función $\theta:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ es una mera biyección determinista desde $\mathbb{R}^+$ en sí mismo con $\theta(0)=0$ por lo que $\theta(t)B_{\theta(t)}$ puede representarse como $sB_s$ donde $s\in\mathbb{R}^+$ .

Como una diferencia de variables gaussianas, $X_t$ es gaussiano con respecto a la filtración $\mathcal{F}^\theta_t$ con la misma distribución que $\eta(t)+\xi(t)Z$ , donde $Z$ es una variable normal estándar y $\eta(t), \xi(t)$ algunas funciones deterministas de $t$ . Volviendo a la filtración $\mathcal{F}_t$ es fácil ver que simplemente estamos aplicando alguna transformación determinista a las funciones $\eta(t)$ y $\xi(t)$ así $X_t$ sigue siendo gaussiano bajo la filtración original $\mathcal{F}_t$ .

Antecedentes :

• Caracterización de Lévy del movimiento browniano
• Movimiento browniano con cambios en el tiempo