Quanto al rendimiento total de un activo extranjero en el nacional

Question

Digamos que tenemos un producto que paga lo siguiente al vencimiento $T$ :

$$\text{Payoff}_{in\ USD} = \text{Notional}_{in\ USD} \cdot \frac{DAXLevel_{in\ EUR}\ at\ t=T}{DAXLevel_{in\ EUR}\ at\ t=0}$$ Es decir, simplemente paga la rentabilidad total del DAX en USD (en lugar de EUR, que es la moneda en la que cotiza el DAX). Por tanto, ofrece a los inversores basados en el USD una exposición al índice DAX denominado en EUR sin tener que invertir realmente en EUR. Es decir, el riesgo cambiario queda aparentemente anulado ( o es ).

Ahora mi pregunta es, ¿cómo se podría replicar tal recompensa ? Después de jugar con esto durante un tiempo (sin embargo, sin encontrar una estrategia de réplica que funcione), también tengo la impresión de que El riesgo de cambio no es cero (es decir, tenemos una delta fx del EURUSD distinta de cero). La razón es que la cartera de réplica invertirá en

1. El propio DAX (en euros)
2. Una cuenta de efectivo (en euros)
3. Una cuenta de efectivo (en USD)

Es decir, habrá que convertir los dólares en euros y viceversa.

¿Alguien podría indicarme la dirección correcta?

Answer 1

Para ver la exposición al riesgo de cambio y la dificultad de cobertura, suponemos tipos de interés y volatilidades constantes. Sea $r_d$ y $r_f$ denotan respectivamente los tipos de interés para el USD y el EUR. Además, dejemos que $X_t$ sea el tipo de cambio en el momento $t$ de una unidad de USD a unidades de EUR. Por último, dejemos que $S_t$ sea el nivel de precios del DAX en el momento $t$ . Suponemos que, bajo la medida neutral de riesgo de EUR $Q_f$ , $$\begin{align*} \frac{dX_t}{X_t} &= (r_f-r_d) dt + \sigma_X dW_t\\ \frac{dS_t}{S_t} &= r_f dt + \sigma_S\big( \rho dW_t + \sqrt{1-\rho^2} dB_t\big), \end{align*}$$ donde $\{W_t, t \ge 0\}$ y $\{B_t, t \ge 0\}$ son dos movimientos brownianos estándar independientes, y $\rho$ es la correlación.

Dejemos que $Q_d$ sea la medida neutral de riesgo del USD. Tenga en cuenta que $$\begin{align*} \frac{dQ_d}{dQ_f}\big|_t = \frac{e^{r_dt} X_t}{e^{r_f t}X_0}. \end{align*}$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} e^{-r_dT} E_{Q_d} \left(\frac{S_T}{S_0} \right) &=e^{-r_dT} E_{Q_f} \left(\frac{S_T}{S_0} \frac{e^{r_dT} X_T}{e^{r_f T}X_0}\right)\\ &= e^{-r_fT} E_{Q_f} \left(\frac{S_T X_T}{S_0X_0}\right) \tag{1}\\ &= e^{(r_f-r_d)T}E_{Q_f}\left(e^{-\frac{1}{2}\sigma_S^2 T +\sigma_T (\rho W_T + \sqrt{1-\rho^2} B_T) -\frac{1}{2}\sigma_X^2 T + \sigma_X W_T)} \right)\\ &=e^{(r_f-r_d)T}e^{\rho\sigma_S\sigma_X T}. \tag{2} \end{align*}$$ Aquí, $\rho\sigma_S\sigma_X T$ es el ajuste del quanto.

Desde $(1)$ observamos que la recompensa $S_T/S_0$ del quanto a plazo, en USD, equivale al pago $S_TX_T/(S_0X_0)$ en euros. Por lo tanto, un quanto a plazo está expuesto al riesgo de cambio. También observamos que, aunque el tipo de cambio no aparece explícitamente en la fórmula de valoración $(2)$ , tanto los factores de riesgo FX $\rho$ y $\sigma_X$ se presentan. Además, la Fórmula $(2)$ se basa en la hipótesis de la volatilidad constante, mientras que en el marco de la volatilidad local, la volatilidad $\sigma_X$ dependerá del tipo de cambio al contado $X_0$ . En cuanto a la replicación, básicamente necesitamos replicar el pago $S_TX_T/(S_0X_0)$ en euros, lo que no parece un ejercicio fácil.

EDIT: En la sección 12.4.5 del libro hay un interesante debate sobre un producto similar Gestión de riesgos financieros .