Algunas reflexiones:
Supongamos que hay dos jugadores $i,j$ y dos números $1,2$ . Así que los perfiles de tipo son $\theta=(\theta_i,\theta_j) \in \{1,2\} \times \{1,2\}$ y que sean extracciones independientes de la misma distribución con $P(\theta_i=2)=p$ y $P(\theta_i=1)=1-p$ . En el camino del equilibrio, este es un juego de continuación de cualquier juego más grande porque al final siempre quedan sólo dos jugadores y en el equilibrio deben ser los que tienen los tipos más altos. Este es el juego de continuación en el que la puja en pie es tan alta que sólo quedan los dos números más altos posibles como candidatos plausibles.
Dejemos que $b$ sea la oferta actual en pie y resuelva hacia atrás como jugador $i$ :
Primero, $i$ sobrepuja cualquier $b\leq 1$ tan desafiante significaría perder con seguridad como para cualquier $\theta, \theta_i+\theta_j\geq 2$ . De la misma manera, $i$ desafía cualquier $b\geq 5$ ya que significa ganar seguro como para cualquier $\theta, \theta_i+\theta_j<5$ porque 4 es la suma máxima.
$\theta_i=1$ desafíos $b=4$ como $1+\theta_j\leq3<4$ para ganar seguro. $\theta_i=2$ desafíos $b=4$ como sobreoferta a $b\geq5$ significa jugador $j$ desafía la siguiente ronda y gana. Desafiando a $b=4$ como $\theta_j=2$ significa perder contra el tipo $\theta_j=2$ pero ganando contra el tipo $\theta_j=1$ .
$\theta_i=1$ desafíos $b= 3$ ya que sobrepujar significa perder seguro ya que cualquier tipo impugnaría la oferta $b\geq 4$ seguro en la siguiente ronda y la suma es como máximo 3. $\theta_i=2$ sobreoferta $b=3$ a 4 como reto significa perder seguro, dado que $2+\theta_i\geq3=b$ seguro.
$\theta_i=2$ sobreoferta $b=2$ como desafío significa perder con seguridad, dado que $2+\theta_i\geq3>b$ seguro. $\theta_i=1$ sobreoferta $b=2$ como desafío significa perder con seguridad, dado que $2+\theta_i\geq2=b$ con seguridad. Por lo tanto, pujar 2 significa esencialmente que el otro tiene el primer movimiento. Aquí se pueden construir múltiples equilibrios de señalización. Concentrémonos en el caso en el que no se infiere nada de dicha jugada.
Considera la primera ronda.
Supongamos que $p>1-p>\frac{1}{2}$ .
Como $\theta_i=1$ podrías ofertar 4 en la primera ronda. Ambos tipos deben desafiar, lo que significa que pierdes contra $\theta_j=2$ (la suma es $3<4$ ) y perder contra $\theta_j=1$ (la suma es $2<4$ ). Es decir, sólo se puede perder cuando se puja 4 como tipo 1 y nunca se hará esto.
Alternativamente, como $\theta_i=1$ puede ofertar $b=3$ en la primera ronda, lo que significa que pierde contra $\theta_j=1$ que desafía con seguridad (la suma es $2<3$ ) y ganar contra $\theta_j=2$ que perdería un reto y que pierde por sobrepujar a 4, que tú retarías. Ganar es más probable al vencer al tipo 2 y $p>1-p$ .
Alternativamente, puede pujar 2 en la primera ronda, lo que significa que ambos tipos sobrepujarán. Tipo $\theta_j=1$ ofrecerá 3, ya que ofrecer 4 o más significa una pérdida segura para ellos. Usted desafiaría el 3 como tipo 1 y ganaría (sobrepujar a 4 o más significa pérdida segura para usted). Es decir, usted gana al menos con probabilidad $1-p$ . ¿Qué hace el tipo 2 al ver $b=2$ ? Dado que suponemos que no hay inferencia, hacen lo mismo que harían si empezaran.
Como $\theta_i=2$ puede ofertar 4 en la primera ronda, lo que significa que pierde contra $\theta_j=1$ (la suma es $3<4$ ) y ganar contra $\theta_j=2$ (la suma es $4$ ). Ambos te desafiarán de forma óptima aunque sepan tu tipo: el tipo alto sabe que ha perdido al ver el 4, el tipo bajo sabe que ha ganado. Por lo tanto, es más probable que ganen, $p>1-p$ .
Alternativamente como $\theta_i=2$ puede ofertar 3 en la primera ronda, lo que significa que gana contra $\theta_j=1$ que desafía (la suma es $3\geq3$ y ellos sobrepujan significa que usted desafía en la siguiente ronda y gana) y pierde contra $\theta_j=2$ que sobrepuja a 4 que tienes que desafiar y perder - $\theta_j=2$ no impugnaría ya que esto significaría una pérdida segura para ellos. Por lo tanto, es más probable que pierdan, $p>1-p$ .
Por lo tanto, volvemos a la oferta de tipo 1 en la primera ronda. Si $p>1-p$ y no había ninguna inferencia, tipo $\theta_j=2$ ofrece 4 y usted como $\theta_i=1$ ganar por el desafío de 4. Pero eso significaría que siempre ganas como tipo $\theta_i=1$ al pujar por 2. Entonces debe ser que $j$ infiere que es del tipo 1 cuando puja por el 2. Como respuesta, ellos pujarían 3, que usted puede desafiar o sobrepujar y perder en cualquier caso. Por lo tanto, pujar 2 como tipo $\theta_i=1$ significa, ganar con probabilidad $1-p$ y perdiendo con probabilidad $p$ . Porque $p>1-p$ esto es peor que apostar 3.
Así que $\theta_i=1$ ofrece 3 en la primera ronda cuando $p>1-p$ .
Ahora a escribir $\theta_i=2$ en la primera ronda. Teniendo en cuenta lo anterior, la oferta 4 es mejor que la oferta 3 dado el $p>1-p$ . ¿Qué pasa con la puja 2? Bajo la creencia de que el tipo 1 puja 2, ambos tipos de jugadores sobrepujarían a 3. Aquí, el desafío significaría una pérdida segura para el tipo $\theta_i=2$ . Por lo tanto, sobrepujamos a 4 con el mismo resultado que si pujáramos a 4 en la primera ronda. Bajo la creencia de que el tipo 2 puja a 2, un tipo 2 sobrepujaría a 4 y ganaría, y un tipo 3 sobrepujaría a 3 y ganaría el desafío contra 3 y también después de un desafío contra 4.
Así que $\theta_i=2$ ofrece 4 en la primera ronda cuando $p>1-p$ .
Con $p<1-p$ El tipo 1 seguiría sin pujar por el 4 en la primera ronda, pero también el tipo 2 no querría pujar por el 4, sino que puja por el 3 y el tipo 1 por el 2.
