Operador de casco convexo en la definición de estrategias racionalizables

Question

En Teoría de los juegos de Fudenberg y Tirole, definen el conjunto de estrategias racionalizables de la siguiente manera.

Definición 2.3 en FT : Set $\tilde{\Sigma}_{i}^{0}=\Sigma_{i}$ donde $\Sigma_{i}$ es el espacio de estrategias mixtas para el jugador $i$ . Para cada $i$ , defina recursivamente $$\tilde{\Sigma}_{i}^{n}=\{\sigma_{i}\in \tilde{\Sigma}_{i}^{n-1}|\exists \sigma_{-i} \in \times_{j\not=i} \text{convex hull} \,\left(\tilde{\Sigma}_{j}^{n-1}\right) s.t \,\,u_{i}(\sigma_{i},\sigma_{-i})\geq u_{i}(\sigma_{i}',\sigma_{-i}) \,\,\forall \sigma_{i}'\in \tilde{\Sigma}_{i}^{n-1}\}$$ Las estrategias racionalizables para el jugador $i$ son $R_{i}=\cap_{n=0}^{\infty}\tilde{\Sigma}_{i}^{n}$

El casco convexo de un conjunto $X$ es el conjunto convexo más pequeño que contiene $X$

Mi pregunta es: ¿por qué necesitamos el operador de casco convexo en la definición?

Creo que $\tilde{\Sigma}_{i}^{n}$ es el conjunto de estrategias que sobreviven al $n-1$ rondas de eliminación de estrategias de nunca-más-respuesta, no sé por qué necesitamos la convexidad aquí.

Answer 1

Es posible que una estrategia mixta no sea la mejor respuesta a ninguna estrategia mixta, aunque todas las estrategias puras en su apoyo sean las mejores respuestas a algunas estrategias mixtas. He aquí un ejemplo del libro de texto mencionado: Ambos T y M son las mejores respuestas contra alguna estrategia mixta del jugador de la columna (esto se desprende de no estar dominado), pero jugando ambos con probabilidad $1/2$ da un determinado pago de $-\frac{1}{2}$ , por lo que sería mejor jugar B en su lugar.

L

R

T

1,3

-2,0

M

-2,0

1,3

B

0,1

0,1

La supresión iterada de las respuestas mixtas no óptimas, por tanto, conduce a conjuntos no convexos. Ahora, el argumento de Fudenberg y Tirole es que si el jugador de la columna no está seguro de si el jugador de la fila juega T o M y asigna la probabilidad $1/2$ a ambas posibilidades, entonces es como si el jugador de la fila jugara contra la estrategia mixta dominada anterior. Dicha mezcla puede representarse mediante el casco convexo.

Sin embargo, si hay más de dos jugadores, se puede utilizar el mismo argumento para sostener que si un jugador no está seguro sobre qué perfil de estrategia razonable de los otros jugadores se juega, entonces también debería permitir combinaciones convexas. Pero esto hará que las creencias sobre las acciones de los otros jugadores ya no sean estocásticamente independientes y ya no correspondan a perfiles de estrategia mixtos. Si se permite dicha correlación, se obtiene el concepto de solución de racionalidad correlativa en cambio, para muchos (yo incluido) un concepto más sensato.