Expectativa de la función de utilidad exponencial negativa para un modelo de Grossman y Miller

Question

Tengo el estándar $3$ -período del modelo de Grossman y Miller con $2$ comerciantes externos y $M$ creadores de mercado.

Me lo han dicho:

• $W_t^{(1)}, W_t^{(2)}, W_t^{(m)}$ es la riqueza del primer operador externo, del segundo operador externo y del creador de mercado en el momento $t$ .
• $B_t^{(1)}, B_t^{(2)}, B_t^{(m)}$ es el efectivo del primer operador externo, del segundo operador externo y del creador de mercado en el momento $t$ .
• $x_t^{(1)},x_t^{(2)},x_t^{(m)}$ son las acciones del valor del primer operador externo, del segundo operador externo y del creador de mercado en el momento $t$ .
• $\tilde{p}_t$ es el precio desconocido del valor en el momento $t$ que sigue una distribución normal.

Entonces me preguntan:

Dejemos que $x$ sea el número de participaciones, $\tilde{p} \sim N(\mu, \sigma^2)$ sea el precio del valor y $W=x \cdot \tilde{p}$ sea la riqueza. Demuestra que $E(U(W)) = -e^{(((\lambda^2\sigma^2)/2)x^2)-\lambda\mu x}$

Así que sé que la función de utilidad exponencial negativa es: $U(W)=-e^{-\lambda W}$ En una parte anterior de esta pregunta formulé el problema de optimización de la utilidad para el primer operador externo, el segundo operador externo y el creador de mercado, pero no estoy seguro de si esto ayuda (si es útil puedo subirlo).

Aquí es donde estoy atascado, no estoy seguro de cómo puedo encontrar $E(U(W))$ teniendo en cuenta lo que sé y lo que se proporciona en la pregunta.

Cualquier ayuda sería muy apreciada, aunque sólo sea una pista para empezar.

Gracias de antemano

Answer 1

La derivación de la utilidad esperada proviene de una aplicación de la función generadora de momentos de una variable aleatoria Normal:

Dejemos que $U(W)=-e^{-\lambda W}$ y $W=x \cdot \bar{p}$ donde $\bar{p} \sim N(\mu, \sigma^2)$ se dé como en el caso anterior y, además, se observe que $W$ se distribuye normalmente con $W \sim N(\mu \cdot x, x^2 \sigma^2)$ .

Mira eso:

\begin{align} \mathbb{E}\left[U(W)\right] &= \mathbb{E}\left[-e^{-\lambda W}\right]\\ &=-\mathbb{E}\left[e^{-\lambda W}\right], \end{align}

es muy similar a la f.g.m. de una variable aleatoria Normal .

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Recuerda que la función generadora de momentos de una variable aleatoria Normal con distribución $x \sim N(\mu, \sigma^2)$ viene dada por ( _véase aquí o aquí para la fórmula_ ):

$$\mathbb{E}\left[e^{tx}\right] = e^{t\mu+\frac{\sigma^2t^2}{2}}$$

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Siguiendo con lo anterior, se puede aplicar la función generadora de momentos a la utilidad esperada, con lo que se obtiene la solución deseada:

\begin{align} \mathbb{E}\left[U(W)\right] &= \mathbb{E}\left[-e^{-\lambda W}\right]\\ &=-\mathbb{E}\left[e^{-\lambda W}\right]\\ &=-e^{-\mu x\lambda + \frac{x^2\sigma^2\lambda^2}{2}}\\ &=-e^{\frac{\lambda^2\sigma^2x^2}{2} - \lambda\mu x}, \end{align} donde he realineado todo en la última ecuación, para que se ajuste a la solución de tu pregunta.