¿Cuál es la relación entre la elasticidad de la producción y los rendimientos a escala?

Question

https://en.wikipedia.org/wiki/Output_elasticity

"Si la función de producción contiene un solo insumo, la elasticidad de la producción es también un indicador del grado de rendimientos a escala. Si el coeficiente de elasticidad de la producción es superior a 1, entonces la producción experimenta rendimientos crecientes a escala. Si el coeficiente es inferior a 1, la producción experimenta rendimientos decrecientes a escala. Si el coeficiente es 1, entonces la producción experimenta rendimientos constantes a escala. Obsérvese que los rendimientos a escala pueden cambiar a medida que cambia el nivel de producción".

Por lo tanto, lo anterior está claro para 1 entrada. ¿Pero qué pasa si la función de producción tiene dos o más insumos? ¿Capital, trabajo, materiales, etc.? ¿Alguien puede mostrar la prueba?

Answer 1

Definir la función de producción $Q=f(x_1,..,x_k)$ , donde $x_i$ denota la i-ésima entrada. A continuación, recordemos que el diferencial total de salida puede escribirse como
$\Delta Q = \sum_{i=1}^{\ k}\frac{\partial Q}{\partial x_i}\Delta x_i$
Ahora nos interesan los rendimientos a escala, que es el cambio en la producción debido a la multiplicación de cada insumo con una constante. Podemos escribir: $x_{1i}=ax_i$ para cada x donde a es una constante y el subíndice 1 significa la nueva x debida a la multiplicación. De ello se deduce que $\Delta x =x_{1i}-x_i =ax_i-x_i=(a-1)x_i$
Sustituye este último resultado en el diferencial total. Obtenemos:
$\Delta Q = \sum_{i=1}^{\ k}\frac{\partial Q}{\partial x_i}\ (a-1)x_i$
que se puede reescribir como
$\Delta Q = (a-1)\sum_{i=1}^{\ k}\frac{\partial Q}{\partial x_i}\ x_i$
Ahora recordemos que la elasticidad de la producción con respecto a un insumo i puede escribirse como
$\epsilon\ = \frac{\partial Q}{\partial x_i}\ \frac{x_i}{\ Q}$
reescribir esto a la expresión
$\epsilon\ Q = \frac{\partial Q}{\partial x_i}\ x_i$

Sustituye este resultado en la última versión del diferencial total, que se convierte en
$\Delta Q = (a-1)\sum_{i=1}^{\ k}\ \epsilon\ Q = (a-1)Q\sum_{i=1}^{\ k}\ \epsilon$
Reescribiendo esto obtenemos el multiplicador de la salida asociado a la multiplicación de cada entrada con $a$ :
$\frac{Q_1}{Q} = (a-1) \sum_{i=1}^{\ k} \epsilon +1$
Dónde $Q_1$ se produce a posteriori.

De esta última expresión se desprende inmediatamente que los rendimientos constantes a escala ( $ax \implies aQ$ ) se derivan de que la suma de las elasticidades sea igual a 1, de que los rendimientos de escala sean mayores que 1 y de que disminuyan cuando sean menores que 1.

El gráfico está trazado para a=2. En rojo todos los puntos que corresponden a rendimientos decrecientes de la escala, en verde los rendimientos crecientes de la escala. Además, se observa que
$\sum_{i=1}^{\ k} \epsilon = 1 \implies \frac{Q_1}{Q} = a$