Teorema del no arbitraje: una prueba

Question

El mercado está libre de arbitraje si existe una medida martingala equivalente para el proceso de precio descontado de la acción.

Mi curso sólo me proporciona una parte de la prueba completa que demuestra que siempre que existe dicha martingala, implica que el mercado debe estar libre de arbitraje.

Prueba:

Supongamos que $P^*$ es una martingala equivalente para el proceso de descuento del precio de las acciones $S'$ . Para cualquier estrategia de autofinanciación $\phi$ tenemos que $V'^\phi$ es un $P^*$ martingala. ( $V'$ es el valor descontado de dicha estrategia). Por lo tanto: $$ E_{P^*}[V'^\phi_T] = V^\phi_0$$

Supongamos ahora que $\phi$ es una oportunidad de arbitraje. Entonces $P(V^\phi_0=0) = 0$ (el coste inicial de la estrategia es cero), por lo que también $P^*(V^\phi_0=0) = 0$ y por lo tanto $ E_{P^*}[V'^\phi_T] = B^{-1}_TE_{P^*}[V^\phi_T] = B^{-1}_TV^\phi_0$ .

Debemos tener $$ P^*(V^\phi_T\geq0) = 1 , P^*(V^\phi_T\gt0) > 0 $$

Junto con el hecho de que para cada resultado posible $\omega$ tenemos $P^*({\omega}) \gt 0$ Esto lleva a una contradicción.

Ahora como explicación a la contradicción, dice que no podemos tener una variable aleatoria no negativa con media cero y masa positiva en los números reales positivos. Lo cual no entiendo. ¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre esta explicación?

Answer 1

Consideremos una variable aleatoria $X$ que tiene una función de densidad de probabilidad (PDF) $f(x)$ . $X$ al ser no negativo significa que $f(x) = 0$ para $x < 0$ . La expectativa de $X$ es por lo tanto

\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty x f(x) \mathrm{d}x = \int_0^\infty x f(x) \mathrm{d}x. \end{equation}

Desde $f(x) \geq 0$ para que sea un PDF válido, se deduce que

\begin{equation} \int_0^\infty x f(x) \mathrm{d}x = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad f(x) = \delta(x), \end{equation}

donde $\delta(x)$ es la función delta de Dirac. Es decir, para $X$ para tener una media cero, su PDF tiene que ser una masa puntual como cero.