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¿Cuándo utilizar un multiplicador de lagrange?

Tengo una pregunta sobre el uso de los multiplicadores de Lagrange en los modelos macro.

He visto que al escribir un Lagrange hay dos formas de escribir el multiplicador de Lagrange: 1) Indexado o 2) Sin indexar. Por ejemplo, para resolver el modelo de Ramsey en tiempo discreto, en la versión más sencilla posible, se escribiría el Lagrange de la siguiente manera:

$$ L=\sum_{t=0}^{\infty}\bigg\{\beta^t u(C_t)-\lambda_t[C_t+K_{t+1}-(1-\delta)K_t-w_t-r_tK_t]\bigg\} $$

y aquí el multiplicador de Lagrange está indexado en el tiempo y se escribe como $\lambda_t$ .

Pero al resolver un simple problema de consumo de por vida para un individuo, se escribiría el Lagrange de la siguiente manera:

$$ L=\sum_{t=0}^{\infty}[u(C_t)+\lambda(A_0+Y_t-C_t)] $$

y aquí el multiplicador de Lagrange no está indexado en el tiempo, por lo que lo escribimos simplemente como $\lambda$ .

Por lo tanto, mi pregunta es cuándo es apropiado utilizar cada tipo de multiplicador.

Gracias.

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Eric L Puntos 86

Me gustaría poder dejar esto como un comentario, pero la primera formulación es una solución a un problema de maximización de la forma $$ \max_{C_t} \sum_{t} \beta^{t} u(C_t) \\ \text{s.t. } \quad C_t +K_{t+1} \leq (1-\delta)K_{t} + w_{t} + r_tK_t \quad \forall t $$

La segunda formulación es una solución a un problema de maximización de la forma $$ \max_{C_t} \sum_{t} \beta^{t} u(C_t) \\ \text{s.t. } \quad \sum_{t} C_t \leq \sum_{t} (A_0 +Y_t) $$

En cierto modo, el primero es un problema secuencial, mientras que el segundo es un problema de tiempo cero. En algunos casos los enfoques son equivalentes, pero no soy un experto en esto.

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