Prueba de Durbin Watson para un proceso AR(1)

Question

$(1) y_t =\beta y_{t-1} +\epsilon_t$

$(2) \epsilon_t =\rho \epsilon_{t-1} +v_t$

Dónde $v_t$ es ruido blanco i.i.d. Sé que las estimaciones OLS de (1) están sesgadas. De ello se desprende que las estimaciones de $\epsilon_t$ están sesgados, lo que debería implicar que una prueba de Durbin-Watson utilizando esas estimaciones residuales está sesgada. He intentado probar esto, pero he tenido problemas, y probablemente estoy cometiendo errores de álgebra. ¿Existe una prueba directa de que la prueba de Durbin-Watson está sesgada?

Tengo eso $plim \hat{\beta}_{OLS}=\beta +\frac{\rho (1-\beta^2)}{1+\beta\rho}$ lo que implica $\hat{\epsilon_t}=\epsilon_t-y_{t-1}\frac{\rho (1-\beta^2)}{1+\beta\rho}$ y $Cov[y_{t-1},\epsilon_t]=\frac{\rho \sigma^2_\epsilon}{(1-\beta \rho)}$ .

Answer 1

El resultado de Nerlove y Wallis (1966)

Nerlove y Wallis (1966) han debatido esta cuestión. Su ecuación (3) deriva el límite de probabilidad del estadístico Durbin-Watson como: $$\mathrm{plim}\, d^* = 2 \left[ 1 - \frac{\rho \beta (\beta + \rho)}{1+\beta \rho} \right].$$ (Su notación para $\beta$ es $\alpha$ en el papel). La derivación de Nerlove y Wallis (1966) se basa en Malinvaud (1961) cuya hermosa obra no puedo leer, por desgracia.

Derivación

Se puede derivar el resultado de Nerlove y Wallis (1966). Permítanme intentarlo aquí. Necesitamos $y_t$ para ser covarianza estacionaria, lo que acabamos de asumir.

Dejemos que $\gamma_j = E(y_t y_{t-j})$ . Sea $b$ sea el límite de probabilidad de $\hat\beta_{ols}$ que es $b=(\beta+\rho)/(1+\beta\rho)$ según la derivación de OP. Sea $e_t = y_t - b y_{t-1}$ . Entonces $$\begin{align} E(e_t^2) &= (1+b^2) \gamma_0 - 2b \gamma_1\\ E(e_t e_{t-1}) &= \gamma_1 -b\gamma_2 - b\gamma_0 + b^2 \gamma_1 = (1+b^2) \gamma_1 - b(\gamma_0+\gamma_2), \end{align}$$ y el límite de probabilidad de DW ( $d^*$ ) es $2[1-E(e_te_{t-1})/E(e_t^2)]$ .

Necesitamos $\gamma_0, \gamma_1$ y $\gamma_2$ . Para ello, tenga en cuenta que $\epsilon_t - \rho \epsilon_{t-1} = (y_t - \beta y_{t-1}) - \rho(y_{t-1} - \beta y_{t-2}) = v_t$ Es decir, $y_t = (\beta + \rho) y_{t-1} - \beta \rho y_{t-2} + v_t$ . Debido a la estacionariedad de la covarianza, tenemos (porque $E y_{t-1} v_t = 0$ y $E y_{t-2} v_t = 0$ ) $$\begin{align*} \gamma_1 &= (\beta + \rho) \gamma_0 - \beta\rho \gamma_1,\\ \gamma_2 &= (\beta + \rho) \gamma_1 - \beta\rho \gamma_0, \end{align*}$$ el Ecuaciones de Yule-Walker . La primera identidad implica $\gamma_1/\gamma_0 = (\beta+\rho)/(1+\beta\rho) = b$ lo cual es natural porque $\hat\beta_{ols}$ converge en probabilidad a $\gamma_1/\gamma_0$ . La segunda identidad implica $\gamma_2/\gamma_0 = (\beta+\rho) (\gamma_1/\gamma_0) - \beta\rho = (\beta+\rho) b - \beta\rho$ . Así, $$\begin{align} \frac{E(e_te_{t-1})}{E(e_t^2)} &= \frac{(1+b^2) \gamma_1 - b(\gamma_0+\gamma_2)}{(1+b^2)\gamma_0 - 2b\gamma_1} = \frac{(1+b^2)b - b[1+(\beta+\rho)b -\beta\rho]}{1+b^2 - 2b^2}\\ &= \frac{b^3-(\beta+\rho)b^2+\beta\rho b}{1-b^2} = b \left[ \frac{b^2 - (\beta + \rho) b + \beta\rho}{1-b^2} \right]. \end{align}$$ Enchufar $b = (\beta+\rho)/(1+\beta\rho)$ para demostrar que lo anterior es igual a $$b \left[ \frac{(\beta+\rho)^2 - (\beta+\rho)^2 (1+\beta\rho) + \beta\rho (1+\beta\rho)^2}{(1+\beta\rho)^2 - (\beta+\rho)^2} \right] = b\beta\rho = \frac{\beta\rho(\beta+\rho)}{1+\beta\rho},$$ lo que implica directamente el resultado de Nerlove y Wallis (1996) porque $d^* \to_p 2[1- E(e_te_{t-1})/E(e_t^2)]$ .

La estadística Durbin h

Durbin (1970) reconoce este problema y propone el llamado Estadística Durbin-h cuya fórmula se da en su Ecuación (12) en la p. 419 como $$h = a\sqrt{\frac{n}{1-n\hat{V}(b_1)}}, \quad a = 1-\tfrac12 d,$$ asintóticamente normal bajo la nula. (Véase también Wikipedia .) Puede adivinar la razón por la que se llama estadística "h" de Durbin.

Significado de DW bias

Nerlove y Wallis (1966) explican además por qué su derivación del límite de probabilidad de DW $d^*$ conduce a una prueba inválida por parte de DW. Sin embargo, bajo la hipótesis nula de que $\rho=0$ , DW $d^*$ converge en probabilidad a 2 (que es "correcto"), por lo que no podemos simplemente saltar a la conclusión de que la prueba DW rechaza consistentemente el nulo correcto. El problema, diría yo, está en el error estándar de $d^*$ (o de la correlación serial estimada en $y_t - \hat\beta_{ols} y_{t-1}$ ). Y Durbin (1970) da una solución.

Referencias

Durbin, J. (1970). Pruebas de correlación serial en la regresión por mínimos cuadrados cuando algunos de los regresores son variables dependientes retardadas , Econometrica 38(3), 410-421.

Malinvaud, E. (1961). Estimación y previsión en modelos económicos autorregresivos , Revista del Instituto Internacional de Estadística , 29(2), 1-32.

Nerlove, M., y K. F. Wallis (1966). Uso del estadístico de Durbin-Watson en situaciones inadecuadas , Econometrica 34(1), 235-238.