Utilizando la versión neutral al riesgo del Primer Teorema Fundamental de la Valoración de Activos para derivar una ecuación diferencial parcial

Question

Tengo que utilizar la versión neutral al riesgo del Primer Teorema Fundamental de la Valoración de Activos para derivar una ecuación diferencial parcial (EDP) que el proceso de precio/valor, $V_t = F(t,S_t)$ , de una cartera markoviana autofinanciada tiene que satisfacer.

Un poco de contexto:

Dejemos que $W$ sea un movimiento Browiano estándar. Estamos en un mercado financiero que consiste en un activo de riesgo $S$ y una cuenta del mercado monetario $B$ con:

$$dS_t = a(b - S_t)dt + \sigma S_tdW_t$$ $$dB_t = rB_tdt$$

donde, $$B_0 = 1,\; S_0 = s_0, \;\sigma > 0 \; \text{and}\; a,b \; \text{are constants unequal to zero.}$$

Normalmente, no tenemos que utilizar la FFT y utilizamos estas dos ecuaciones: $$V_t = \phi_tS_t + \psi_tB_t$$ $$dV_t = \phi_tdS_t + \psi_tdB_t $$

Sé que la FFTAP nos dice que bajo condiciones de regularidad la ausencia de arbitraje se mantiene si y sólo si, para algún numerario $N$ existe una medida de probabilidad $\mathbb{Q} = \mathbb{Q}_N$ tal que:

1. $\mathbb{Q} \sim \mathbb{P}$
2. Para cualquier activo $A$ en el mercado, el proceso de precios descontados $A/N$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale, es decir $$\frac{A_t}{N_t} = \mathbb{E_Q}\left[ \frac{A_T}{N_T} | \mathcal{F}_t \right]$$

Podría alguien ayudarme a empezar, ya que no tengo ni idea de cómo empezar. Si necesito proporcionar información adicional hágamelo saber y trataré de hacerlo.

Answer 1

En la respuesta a un pregunta relacionada de los suyos se demostró que bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb Q$ el proceso $$ S_te^{-rt}=S_0e^{-\frac{\sigma^2t}{2}+\sigma W^{\mathbb Q}_t} $$ es una martingala. En otras palabras, bajo el riesgo neutral $\mathbb Q\,,$ el numerario $N_t$ es la cuenta del mercado monetario $e^{rt}\,.$ Desde \begin{align} V_t=F(t,S_t)=e^{-(T-t)r}\mathbb E\big[F(T,S_T)\big|S_t\big]\, \end{align} se deduce directamente que $F(t,S_t)e^{-rt}$ también es una martingala. Aplicando la fórmula de Ito se obtiene \begin{align} &e^{-rT}F(T,S_T)\\& \quad=F(0,S_0)+\int_0^Te^{-rt}\partial_TF(t,S_t)\,dt+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t)\,dS_t\\&\quad\quad+\frac{1}{2}\int_0^Te^{-rt}\partial_x^2F(t,S_t)\,d\langle S\rangle_t\\ &\quad\quad-r\int_0^Te^{-rt}F(t,S_t)\,dt \\ &\quad=F(0,S_0)+\int_0^Te^{-rt}\partial_TF(t,S_t)\,dt+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t)\,r\,S_t\,dt\\&\quad\quad+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t)\,\sigma\,S_t\,dW^{\mathbb Q}_t\\&\quad\quad+\frac{1}{2}\int_0^Te^{-rt}\partial_x^2F(t,S_t)\,\sigma^2 S_t^2\,dt-r\int_0^Te^{-rt}F(t,S_t)\,dt\,. \end{align} Por la propiedad de la martingala sabemos que $F(0,S_0)=\mathbb E[e^{-rT}F(T,S_T)]$ se mantiene. De ello se desprende que \begin{align} 0&=\mathbb E\Bigg[\int_0^Te^{-rt}\partial_TF(t,S_t)\,dt+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t)\,r\,S_t\,dt\\&\quad+\frac{1}{2}\int_0^Te^{-rt}\partial_x^2F(t,S_t)\,\sigma^2 S_t^2\,dt-r\int_0^Te^{-rt}F(t,S_t)\,dt \Bigg]\,. \end{align} En consecuencia, la EDP de Black-Scholes \begin{align} 0=\partial_TF(t,S_t)+\partial_xF(t,S_t)\,r\,S_t+\frac{1}{2}\partial_x^2F(t,S_t)\,\sigma^2 S_t^2-rF(t,S_t)\, \end{align} se mantiene.