Prueba de que EV = CV cuando no hay efecto renta

Question

En todos los libros de texto se dice que es fácil ver que sin efecto ingreso, la integral

$\int_{p^0_1}^{p^1_1} \! h(p,u_0) \mathrm{d}p_1. = \int_{p^0_1}^{p^1_1} \! h(p,u_1) \, \mathrm{d}p_1$

¿Podría alguien explicarme por qué?

Answer 1

Esto es porque cuando la demanda marshalliana $x_i(p,w)$ es constante en $w$ (es decir, sin efecto sobre la renta), la demanda hicksiana $h_i(p,u)$ es constante en $u$ . Para ver esto, sólo tenemos que aplicar la relación $$h_i(p,u)=x_i(p,e(p,u)).$$ Para $u^0\neq u^1$ tenemos $$h_i(p,u^0)=x_i(p,e(p,u^0))=x_i(p,e(p,u^1))=h_i(p,u^1).$$

Por lo tanto, $$\int_{p^0_1}^{p^1_1} \! h_i(p,u^0) \mathop{dp_1} = \int_{p^0_1}^{p^1_1} \! h_i(p,u^1) \, \mathop{dp_1}.$$