La volatilidad idiosincrática se mide como el error residual de la serie temporal de regresión de los excesos periódicos de los rendimientos de las acciones sobre los rendimientos de las carteras que imitan los factores.
Preliminar
Utilizando el modelo de tres factores de Fama/French, se ejecuta la regresión
$$r_{i,t} = \alpha_{i}+\beta_{MKT,i}MKT_{t}+\beta_{SMB,i}SMB_{t}+\beta_{HML,i}HML_{t}+\epsilon_{i,t}$$
donde $r_{i,t}$ es el exceso de rentabilidad de las acciones $i$ durante el período $t$ y $MKT_{t}$ , $SMB_{t}$ y $HML_{t}$ son el periodo $t$ los rendimientos de los factores mercado, tamaño y book-to-market, respectivamente.
El error estándar residual $RSE$ de la regresión anterior se calcula entonces como $$RSE_i = \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^n{\epsilon_{i,j}^2}}{n-k}}$$ donde $n$ es el número de puntos de datos que se utilizan para ajustar la regresión y $k$ es el número de parámetros estimados por la regresión.
Grado de libertad
Cuando se utiliza el modelo de tres factores de Fama/French, hay cuatro parámetros estimados por la regresión ( $\alpha_i$ , $\beta_{MKT,i}$ , $\beta_{SMB,i}$ y $\beta_{HML,i}$ ), por lo que en este caso $k=4$ . Cuando se utiliza el modelo CAPM, hay dos parámetros ( $k=2$ ), y cuando se utiliza el modelo Fama/French/Carhart, hay cinco parámetros ( $k=5$ ).
Con frecuencia, los investigadores omiten la sustracción de $k$ del denominador del cálculo, o simplemente utilizar $k=1$ que asume estadísticamente que las estimaciones de los parámetros son exactas y, por tanto, que $RSE$ representa una estimación insesgada de la desviación estándar de los residuos.
Medir la volatilidad idiosincrática
La volatilidad idiosincrática se calcula multiplicando el error estándar residual por $\sqrt{m}$ (con $m$ como el número de periodos de retorno en un año) para que represente un valor anualizado. Si el exceso de rendimiento periódico utilizado en la regresión se representa en forma decimal, el error estándar residual anualizado se multiplica a menudo por 100, de modo que la volatilidad idiosincrásica ( $IdioVol_i$ ) se mide en porcentaje:
$$IdioVol_i = 100 \cdot RSE_i \cdot \sqrt{m}$$
Referencia
Bali/Engle/Murray (2016), Empirical Asset Pricing: The cross-section of stock returns, Wiley.
