Demostrar que una preferencia es lineal

Question

Dadas las dos condiciones siguientes:

$x\succ y$ implica $x+a\succsim y+a$ ,

Y,

$x\prec y$ implica $x+a\precsim y+a$

Queremos demostrar que $\succsim$ es una preferencia lineal.

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Una de las definiciones de preferencia lineal es esa: $x\succsim y \Leftrightarrow x+a\succsim y+a$

Así que estoy tratando de hacer esto:

Desde $x\succsim y$ significa que $x\succ y$ o $x\sim y$

Ya sabemos que $x\succ y$ implica $x+a\succsim y+a$ ,

todo lo que queda es demostrar que $x\sim y$ también implica que $x+a\succsim y+a$ .

Answer 1

No puedes demostrarlo. Es un error.

Definir $u(x)=\min{\{x,0\}}$ . Sea $\succsim$ sea la relación de preferencia representada por $u$ . Esta relación de preferencia satisface $x\succ y \Longrightarrow x+a\succsim y+a$ para todos $x,y,a\in\mathbb R$ . Pero dejemos $x=0$ , $y=1$ y $a=-1$ . Entonces $x\sim y$ pero $y+a=0\succ -1=x+a$ Por lo tanto $x+a\not\succsim y+a$ y $\succsim$ no es lineal.