Derivación del superávit en el documento de Paul Romer sobre la "matemática"

Question

En este documento de P. Romer https://pubs.aeaweb.org/doi/pdfplus/10.1257/aer.p20151066 Me pregunto si el excedente $S$ se derivó.

Usando la condición dada encontré que $$q_0=m^{-\tfrac{1}{a+b}}N^{-\tfrac{b}{a+b}}$$ Por Superávit supongo que se refiere al Superávit total (Superávit del Consumidor + Superávit del Productor) que se puede calcular mediante la integral $$\displaystyle{S=\int_{0}^{q_0}[D(q)-S(q)]dq=\int_{0}^{q_0}[q^{-a}-N^{b}q^{b}]dq}$$ Con un poco de álgebra encuentro $$S=C(a,b,m)N^{\tfrac{b(a-1)}{a+b}}$$ donde $C(a,b,m)=\tfrac{1}{1-a}m^{\tfrac{a-1}{a+b}}-\tfrac{1}{b+1}m^{-\tfrac{b+1}{a+b}}$

Así que probablemente estoy equivocado, es mi idea de $S$ ¿correcto? Necesito saberlo porque si es así es probable que sea un error en mi álgebra. También supuse que $b>0$ y $0\leq a<1$

Answer 1

Creo que tienes una errata en tu $q_0$ el exponente de $N$ debe ser $-\frac{b}{a+b}$ . Hice todo el cálculo con este tipo corregido de $q_0$ y pude replicar tus resultados (por eso asumo $q_0$ sólo tiene un error tipográfico y realmente hiciste el álgebra con la $q_0$ ).

Sugiero que las discrepancias con el papel están efectivamente relacionadas con la función de Excedente. Pero no se me ocurre ninguna idea de por qué esta función de superávit puede ser errónea.

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Editar: Fuera de la errata no hubo ningún error, @actuarialboi9 y mi humilde persona calculamos el excedente individual. Si uno multiplica esa función de Excedente con $N$ el número de personas en el mercado los resultados serán iguales:

$\begin{equation} S= C(a,b,m) N^{\frac{b(a-1)}{a+b}} \; \cdot \; N \; = \; C(a,b,m)N^{\frac{a(1+b)}{a+b}} \end{equation}$