tipo libor - martingala local

Question

Soy un novato para las tasas Libor y todas estas preguntas...

Sea : $L(t,\delta)$ el tipo Libor y $L_{t}(T,\delta)$ el tipo Libor a plazo. Definamos : $Lb(T,\delta):=1+\delta L(T,\delta)=1/B(T,T+\delta)$ y $Lb_{t}(T,\delta):=1+\delta L_{t}(T,\delta)=B(t,T)/B(t,T+\delta)$ . La cuestión es demostrar que bajo la medida de madurez hacia adelante $T+\delta$ que ambos $Lb_{t}(T,\delta)$ y $L_{t}(T,\delta)$ son martingalas locales. Comencé a definir la medida de madurez hacia adelante $T+\delta$ (bajo el cual el numerario es $B(T,T+\delta)$ ) : $Q^{T+\delta}$ pero es un montón de cálculos. Entonces, ¿cómo podemos resolver esto? ¿Tenemos que partir del modelo $dB(t,T)/B(t,T)=r_{t}dt+\Gamma (t,T)dW_{t}$ para definir $dQ(t,T+\delta)=...dQ$ ?

Answer 1

Por definición, según la $T+\delta$ -Medida a plazo, el precio de cualquier activo negociable en relación con el precio de los bonos $B(t, T+\delta)$ es una martingala. Como \begin{align*} Lb_t(T, \delta) = \frac{B(t, T)}{B(t, T+\delta)}, \end{align*} es una martingala por definición. En cuanto a $L_t(T, \delta)$ ya que \begin{align*} L_t(T, \delta) = \frac{1}{\delta}\left(\frac{B(t, T)}{B(t, T+\delta)} -1 \right) \end{align*} es una combinación lineal de martingalas, también es una martingala.