Estoy leyendo el artículo High-frequency trading in a limit order book de Marco Avellaneda y Sasha Stoikov. Al final del artículo obtienen una solución de forma cerrada para las comillas óptimas del creador de mercado bajo difusión sin deriva. Encontraron que el comportamiento óptimo del creador de mercado sería establecer un diferencial entre oferta y demanda de tamaño:
$$ spread = \gamma\sigma^2(T-t) + \frac{2}{\gamma}ln(1+\frac{\gamma}{k}), $$ donde $\gamma$ es un factor de descuento, $\sigma^2$ es la varianza del proceso, $k$ es el parámetro correspondiente a la intensidad de llegada de las órdenes de mercado, $T$ es el tiempo terminal y $t$ es el tiempo actual, en torno a un precio de reserva dado por:
$$ price = s - q\gamma\sigma^2(T-t), $$
donde $q$ es el estado del inventario y $s$ es el precio actual.
Sin embargo, no veo ninguna especificación de límites para este precio de reserva y, por lo tanto, creo que no hay ninguna garantía de que los precios de demanda calculados por el creador de mercado sean más altos o los precios de oferta sean más bajos que el precio actual del proceso.
Por lo tanto, ¿cómo se aplica en su modelo (por ejemplo, en sus simulaciones) esta necesidad de que los precios de compra de los creadores de mercado sean más altos y los precios de venta más bajos que el precio real?
Editar: Para ser más concreto, sólo especifico, que en mi opinión, tiene que mantener eso:
$$ price + spread/2 - s > 0 $$
Denotemos $price$ por $p_{mm}$ y $spread/2$ por $s_{mm}$ . Entonces
$$ p_{mm} + s_{mm} - s > 0, \\ s - q\gamma\sigma^2(T-t) + \frac{\gamma\sigma^2(T-t)}{2} + \frac{1}{\gamma}ln(1+\frac{\gamma}{k}) - s >0 \\ (...) \\ \frac{1}{2} + \frac{ln(1+\frac{\gamma}{k})}{\gamma^2\sigma^2(T-t)} > q $$
Sin embargo, esta situación no tiene por qué darse, por lo que no hay garantía de que fije precios compatibles con los actuales del mercado.
