El MWG 5C6 pregunta: "Supongamos una función prod cóncava f(z) con entradas $(z_1,...,z_L-1)$ y también que $\partial f(z))/\partial z_l \geqslant 0$ para todo l y $z\geqslant0$ y que $D^2f(z)$ es negativa definida en todo z. Utilice FOC y el Teorema de la Función Implícita (IFT) para demostrar que un aumento en el precio de producción aumenta el nivel de beneficio máximo. Entendí la mayor parte de las soluciones, aunque no está claro por qué el Teorema de la Función Implícita implica que z es un punto maximizador único que satisface $p\bigtriangledown f(z)-w=0$ .
Respuesta
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Chris Kloberdanz
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La unicidad de z proviene del ND de $D^2f$ Creo. Deja que $z^*(p)$ sea la solución del problema al precio $p$ . Define la función, $G(p,z):=p \nabla f(z)-w$ . De la unicidad tenemos $z=z^*(p)$ si y sólo si $G(p,z)=0$ . Es decir, $G(p,z)=0$ es una ecuación implícita que nos dice cómo $z^*(p)$ cambia cuando $p$ hace. El IFT nos da una manera de encontrar la derivada de esta función
$$\frac{\partial z^*_i}{\partial p}=\frac{-\frac{\partial G}{\partial p}}{\frac{\partial G}{\partial z_i}}=-\frac{1}{p}H^{-1}\nabla f(z)$$
Dónde $H$ es el hessian de $f$ . Así que $\sum_i\frac{\partial f}{\partial z_i}\frac{\partial z^*_i}{\partial p}>0$ como $-H^{-1}$ es positivo def.
La derivación de la función de beneficio wrt a $p$ es $\frac{d}{dp}pf(z^*(p))=f(z(p))+p\sum_i\frac{\partial f}{\partial z_i}\frac{\partial z^*_i}{\partial p}$
