Fijación de precios de un derivado americano con diferencias finitas

Question

Tengo una pregunta básica fundamental sobre la fijación de precios de una opción americana en el Black-Scholes (BS): Parece que confundo dos enfoques diferentes para el precio de cualquier ejercicio temprano,

1. Escribe un problema lineal complementario y utiliza el SOR para resolverlo;
2. Resolver el Black-Scholes PDE pero en cada paso de tiempo elige el máximo entre el valor intrínseco y el valor de la solución BS numéricamente.

¿Son estos enfoques equivalentes o cuál es la diferencia entre ambos?

Answer 1

Cuando se utiliza un esquema de diferencias finitas totalmente explícito, se puede simplemente aplicar el paso de inducción hacia atrás y después asegurarse de que el precio de la opción en cada nodo es al menos igual al valor intrínseco. Esto es posible ya que cualquier valor $V_{i + 1, j}$ en el momento $\tau_{i + 1}$ sólo depende de los valores $V_{i, j}$ en el momento $\tau_i$ .

Cuando se utiliza un esquema que es al menos parcialmente implícito, entonces los valores $V_{i + 1, j}$ en $\tau_{i + 1}$ adicionalmente también dependen de los otros valores en el mismo paso de tiempo. En este caso se utiliza, por ejemplo, la sobrerrelajación sucesiva proyectada.

Esta cuestión se trata explícitamente en el capítulo 78.9 de Wilmott (2006), pp. 1244 y siguientes.

Referencias:

Wilmott, Paul (2006) "Paul Wilmott on Quantiative Finance", John Wiley & Sons