Dejemos que $n$ sea el número de consumidores y $m$ sea el número de productos básicos.
El teorema de Arrow-Debreu requiere conjuntos de consumo cerrados y convexos $X_i \subset \mathbb{R}^m$ para todos los compradores $i \in [n]$ . Además, requiere que la función de utilidad de cualquier consumidor $i$ , $u_i: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ sea continua, cuasi-cóncava y no cuantificada sobre el conjunto de consumo $X_i$ donde la no saturación se define como $\forall \mathbf{x} \in X_i, \exists \mathbf{y} \in X_i$ tal que $u_i(\mathbf{y}) > u_i(\mathbf{x})$ ( páginas 268-269 ).
Me parece que estos supuestos son contradictorios. ¿Cómo puede ser la función de utilidad no saturada si el conjunto de consumo es cerrado, es decir, compacto ya que es un subconjunto cerrado en $R^m$ . ¿La compacidad y la continuidad de la función de utilidad no garantizan que existe un paquete dentro del conjunto de consumo que maximiza la utilidad, lo que implica que no puede haber no-satiación?
