Investigación de la función de suministro de la empresa

Question

Supongamos que la empresa tiene una función de costes mínima $C(\vec{w}, q)$ y plantea el siguiente problema de maximización de beneficios:

$max_{q} \text{ } pq - C(\vec{w}, q)$ . La siguiente FOC caracteriza la solución:

$p = C_q(\vec{w}, q)$ donde el subíndice denota las derivadas parciales.

Si lo he entendido bien, la reordenación del BDC para obtener el $q$ en función de $\vec{w}$ y $p$ nos da la función de oferta $S(\vec{w}, p) = q$ . Para investigar $q$ La respuesta de la empresa a los cambios en $p$ y $\vec{w}$ sustituimos la función de oferta en la FOC del que se derivó originalmente :

$$p = C_q(\vec{w}, S(\vec{w}, p))$$

Luego calcularíamos las derivadas parciales y estudiaríamos sus signos. ¿Cuál es la intuición detrás de las matemáticas que nos permiten reordenar una ecuación sólo para sustituir el resultado de nuevo en esa misma ecuación? Si tenemos una ecuación $y = x + 3$ y lo reordena a $x = y - 3$ ¿no sería muy poco útil sustituir la segunda por la primera para llegar a $y = y$ ?

Answer 1

La identidad $y=y$ puede ser sorprendentemente útil cuando ambas expresiones para $y$ son espuriamente diferentes. Esto puede ilustrarse con el teorema de la función inversa. Si $y=f(x)$ equivale a $x=f^{-1}(y)$ es idénticamente cierto que: $$ y=f(f^{-1}(y)) \hspace{5mm} or \hspace{5mm} x=f^{-1}(f(x)),$$ lo que da lugar a la relación clásica entre $f'$ y $(f^{-1})'$ . En el caso de las variables múltiples de su ejemplo, es bastante similar.