¿Cómo incorpora el modelo de Black Scholes los precios de los troncos en el modelo?

Question

Sigo sin entender la relación entre los precios de los troncos y cómo se incorpora al modelo de BS. Entiendo por qué se asume log(S) porque facilita las matemáticas y evita que los precios finales sean negativos. Sin embargo, no entiendo dónde se produce realmente esa transformación.

Al fijar el precio de las opciones mediante el modelo BS, siempre veo que sigue el proceso de evolución subyacente:

dS = Sdt + SdX

La S en lo anterior, me hace creer, es sólo los precios regulares de las acciones, ¿correcto? ¿Y no log(S)? Esto tiene sentido ya que al dividir S entre nos da la rentabilidad simple. Así es como asumimos que los precios de las acciones cambian, lo cual es necesario para aplicar el Lemma de Ito.

Para derivar el precio de la opción, primero creamos una cartera de una opción de compra larga y acciones cortas, que tras aplicar el Lemma de Ito al precio de la opción, nos permite encontrar la cantidad de acciones que hay que vender para que la cartera no tenga riesgo. Esto nos da finalmente el precio de la opción.

En ninguna de las derivaciones de BS que he visto veo que log(S) entre en juego. Veo la derivación, y luego, como punto secundario, el autor comenta que el modelo BS asume que los precios finales de las acciones siguen una distribución lognormal. No veo dónde se incorpora realmente log(S) en el proceso de derivación.

¿Entra en juego dentro del término dX donde no es norm(0,1) sino alguna otra distribución? ¿O es dS en realidad dlog(S)? ¿O la transformación se produce en otro lugar?

Gracias.

Answer 1

Bueno, la distribución no necesito para ser lognormal. Hay artículos que no suponen ni requieren eso: lo único que se necesita en realidad es que $dX^2 = dt$ (de lo contrario, el precio se desvía o converge a cero). Lo que te da la distribución lognormal es una solución de forma cerrada.

Pero si volvemos a un paseo lognomal, su propio nombre proviene del movimiento Browniam con deriva,

$$ dS = \mu dt + \sigma\ dW, $$

donde $dW$ es el movimiento browniano estándar.

Es fácil ver que la distribución final de eso es normal: sumamos "muchas" variables aleatorias con la misma distribución, por lo que terminaremos con una distribución normal con media $\mu t$ y la desviación estándar $\sigma t$ .

Ahora el paseo lognormal,

$$ dS = \mu S dt + \sigma S\ dW $$

Si echa un vistazo a $\log S,$ se observará que (a partir del lema de Itô)

$$ \begin{aligned} d\log S &= \frac{d\log S}{dS} dS + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{d^2\log S}{dS^2} dt \\ &= \frac{1}{S}\left( \mu S dt + \sigma S dW\right) - \frac{1}{2} \sigma^2 dt \\ &= \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) dt + \sigma dW \end{aligned} $$

Es decir, ahora $\log S$ sigue un movimiento browniano y su distribución es normal. De ahí lo de "lognormal".

Que yo sepa, no hay nada más en el nombre.