En Barro (2009) Catástrofes raras, precios de los activos y costes de bienestar Barro desarrolla un modelo de árbol de Lucas con preferencias de Epstein-Zin.
Mi pregunta se refiere a la ecuación (10) del documento. En esta ecuación Barro afirma que bajo la solución óptima la utilidad Ut es proporcional al consumo Ct rado al poder de 1−γ , donde γ es el coeficiente de aversión al riesgo relativo, es decir
Ut=ΦC1−γt
Aunque entiendo la lógica de este resultado, no comprendo cómo deriva la constante Φ que se muestra en la nota 7 del citado documento:
Alberto Giovannini y Philippe Weil (1989, apéndice) muestran que, con la función de utilidad de la ecuación (9), la utilidad alcanzada Ut es proporcional a la riqueza elevada a la potencia 1−γ . La forma en ecuación (10) se deduce porque Ct se elige de forma óptima como una constante a la riqueza en el caso i.i.d. La fórmula para Φ es, si γ≠1 θ≠1 , Φ=(11−γ){ρ+(θ−1)g∗−(1/2)γ(θ−1)σ2−(θ−1γ−1)p[E(1−b)1−γ−1−(γ−1)Eb]}(γ−1)/(1−θ)
Barro cita el documento del NBER de 1989 de Giovannini y Weil. En este documento puedo derivar la constante. Sin embargo, es completamente diferente a la versión de Barro, porque termino con una expresión que incluye E[R1−γt] , donde Rt es el rendimiento de los fondos propios. Creo que Barro ha sustituido E[R1−γt] con la solución de equilibrio de Rt . Sin embargo, su expresión no incluye ningún registro o expresión exp.
Agradecería una solución o alguna pista para la solución.