Processing math: 100%

14 votos

El modelo de catástrofes raras de Barro (2009) en el TEA: ¿Cómo derivar la ecuación (10)?

En Barro (2009) Catástrofes raras, precios de los activos y costes de bienestar Barro desarrolla un modelo de árbol de Lucas con preferencias de Epstein-Zin.

Mi pregunta se refiere a la ecuación (10) del documento. En esta ecuación Barro afirma que bajo la solución óptima la utilidad Ut es proporcional al consumo Ct rado al poder de 1γ , donde γ es el coeficiente de aversión al riesgo relativo, es decir

Ut=ΦC1γt

Aunque entiendo la lógica de este resultado, no comprendo cómo deriva la constante Φ que se muestra en la nota 7 del citado documento:

Alberto Giovannini y Philippe Weil (1989, apéndice) muestran que, con la función de utilidad de la ecuación (9), la utilidad alcanzada Ut es proporcional a la riqueza elevada a la potencia 1γ . La forma en ecuación (10) se deduce porque Ct se elige de forma óptima como una constante a la riqueza en el caso i.i.d. La fórmula para Φ es, si γ1 θ1 , Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Barro cita el documento del NBER de 1989 de Giovannini y Weil. En este documento puedo derivar la constante. Sin embargo, es completamente diferente a la versión de Barro, porque termino con una expresión que incluye E[R1γt] , donde Rt es el rendimiento de los fondos propios. Creo que Barro ha sustituido E[R1γt] con la solución de equilibrio de Rt . Sin embargo, su expresión no incluye ningún registro o expresión exp.

Agradecería una solución o alguna pista para la solución.

4voto

Andrew Puntos 388

Creo que Barro quiere decir en la nota a pie de página que Giovanni y Weil encuentran la misma ecuación, Ut=ΦC1γ pero utilizando el camino óptimo de Ct . En el trabajo de Barro, el enfoque es diferente dado que la dinámica de Ct es exógena: Ct=Yt por suposición.

Barro utiliza el caso límite cuando la duración de un período se acerca a 0. Quizá lo que puede molestar al lector es que el modelo se defina como discreto.

Reescribir el modelo

En primer lugar, podemos reescribir el modelo con una duración de período δ y luego usar δ0 . La dinámica del PIB escribe log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ con ut+δN(0,δσ2) y vt+δ=0 con probabilidad 1pδ y log(1b) con probabilidad pδ . La utilidad satisface Ut=11γ{C1θt+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1) Buscar Φ en función de Et[(Ct+δCt)1γ]

A partir de ahora supongamos que hay un Φ tal que Ut=ΦC1γ (nota que Φ depende de δ a priori). Definir H(U)=[(1γ)U]1θ1γ la utilidad satisface H(Ut)=C1θt+11+ρδH(EtUt+δ). Sustituimos Ut : H(Φ)C1θt=C1θt+11+ρδH(Φ)(Et[C1γt+δ])1θ1γ. Por lo tanto, obtenemos para Ct0 , 1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

2) Buscar Et[(Ct+δCt)1γ] dep la dinámica del PIB

El truco consiste en encontrar la expectativa en el lado derecho a partir de la dinámica del PIB. (Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ). Tomando la expectativa y utilizando la independencia entre ut+1 y vt+1 se deduce que Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ). La expectativa de exp(X) donde X sigue N(0,σ2) es exp(σ2/2) . exp((1γ)vt+δ) es una variable aleatoria igual a 1 con probabilidad 1pδ y (1b)1γ con probabilidad pδ . Sustituimos el operador de expectativa: Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ). Por último, utilizamos Ct=Yt para calcular una ecuación para Φ : 1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

3) Tomar la aproximación δ0

El último paso consiste en realizar una aproximación de primer orden (conservo abusivamente el símbolo de igualdad): 1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ). Siguiendo la aprición de primer orden (todos los δi con i>1 se puede despreciar), tenemos 1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ. Sustituir g utilizando g=g+σ22pEb , 1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ. Tomamos δ=1 y la función de inversión H para encontrar la solución en la nota 7 del documento. El lado derecho de esta ecuación se "simplifica" al interior de los corchetes de la fórmula.

Finanhelp.com

FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X