Creo que Barro quiere decir en la nota a pie de página que Giovanni y Weil encuentran la misma ecuación, $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ pero utilizando el camino óptimo de $C_t$ . En el trabajo de Barro, el enfoque es diferente dado que la dinámica de $C_t$ es exógena: $C_t=Y_t$ por suposición.
Barro utiliza el caso límite cuando la duración de un período se acerca a 0. Quizá lo que puede molestar al lector es que el modelo se defina como discreto.
Reescribir el modelo
En primer lugar, podemos reescribir el modelo con una duración de período $\delta$ y luego usar $\delta\to 0$ . La dinámica del PIB escribe $$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ con $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$ y $v_{t+\delta}=0$ con probabilidad $1-p\delta$ y $\log(1-b)$ con probabilidad $p\delta$ . La utilidad satisface $$ U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}. $$
1) Buscar $\Phi$ en función de $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$
A partir de ahora supongamos que hay un $\Phi$ tal que $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ (nota que $\Phi$ depende de $\delta$ a priori). Definir $H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ la utilidad satisface \begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align} Sustituimos $U_t$ : \begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align} Por lo tanto, obtenemos para $C_t\neq 0$ , \begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}
2) Buscar $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$ dep la dinámica del PIB
El truco consiste en encontrar la expectativa en el lado derecho a partir de la dinámica del PIB. \begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align} Tomando la expectativa y utilizando la independencia entre $u_{t+1}$ y $v_{t+1}$ se deduce que \begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align} La expectativa de $\exp(X)$ donde $X$ sigue $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ es $\exp(\sigma^2/2)$ . $\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$ es una variable aleatoria igual a $1$ con probabilidad $1-p\delta$ y $(1-b)^{1-\gamma}$ con probabilidad $p\delta$ . Sustituimos el operador de expectativa: \begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align} Por último, utilizamos $C_t=Y_t$ para calcular una ecuación para $\Phi$ : \begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}
3) Tomar la aproximación $\delta\to 0$
El último paso consiste en realizar una aproximación de primer orden (conservo abusivamente el símbolo de igualdad): \begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align} Siguiendo la aprición de primer orden (todos los $\delta^i$ con $i>1$ se puede despreciar), tenemos \begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align} Sustituir $g$ utilizando $g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ , \begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align} Tomamos $\delta=1$ y la función de inversión $H$ para encontrar la solución en la nota 7 del documento. El lado derecho de esta ecuación se "simplifica" al interior de los corchetes de la fórmula.
