pago esperado de una opción de venta americana

Question

Estoy leyendo sobre la opción americana y las fuentes me han confundido en la parte en la que se considera la opción de venta americana sobre un activo que no paga dividendos.

Entiendo que el pago de una opción de venta americana al vencimiento viene dado por $$\max\left\{K-S(T),0\right\}$$ donde $K$ es el precio de ejercicio y $S(T)$ es el precio del subyacente al vencimiento.

Algunas fuentes afirman que considerando el n-arbitraje, el problema de la opción de venta americana tiene como objetivo encontrar el valor de la opción $$P(S,t)=\sup_\tau EG_\tau$$ donde $G_\tau$ es la función de ganancia y E es la expectativa.

A mi entender, la función de ganancia es equivalente a la función de recompensa, por lo que $$V(S,t)=\sup_\tau E[max\left\{K-S(\tau),0\right\}]$$ para todos los tiempos de parada $\tau$ .

Sin embargo, también me topé con fuentes que dicen que $$(S,t)=\sup_\tau E[e^{-r(\tau-t)}\max\left\{K-S,0\right\}]$$ para todos los tiempos de parada $\tau$ .

¿Cuál podría ser la explicación detrás de esto?

Answer 1

Una explicación detrás de esto podría ser que, como usted menciona

[...] el pago de una opción de venta americana al vencimiento viene dada por $$\max\left\{K-S(T),0\right\}$$

y

[...] fuentes [...] dicen que $$(S,t)=\sup_\tau E[e^{-r(\tau-t)}\max\left\{K-S(\tau),0\right\}]$$

Así, la diferencia entre ambos parece ser el factor de descuento teniendo en cuenta lo lejos que estamos (en el tiempo) de la fecha de ejercicio/parada (que es la misma que la fecha de vencimiento si $\tau=T$ ), lo que implica calcular (de forma continua) el valor presente de este pago futuro. Si $(\tau-t \rightarrow0) \land (\tau=T \lor t \rightarrow T)$ ambas ecuaciones se vuelven iguales.

Si uno decide (por algunas razones) que la opción se ejercerá al vencimiento, es decir $\tau=T$ y ese "ahora", $t$ es "convertirse en esta fecha futurista $T$ ", es decir $t \rightarrow T$ se obtiene

$T-t \rightarrow 0 \implies \sup_T e^{-r(T-t)} \rightarrow 1$

$\implies \sup_T E[e^{-r(T-t)}\max\left\{K-S(T),0\right\}]$

$\rightarrow E[\max\left\{K-S(T),0\right\}]\rightarrow\max\left\{K-S(T),0\right\}$

Donde la última fila de arriba muestra que la recompensa esperada se vuelve cierta.