¿Cuándo aumenta la participación de los trabajadores en la renta frente a la de los propietarios del capital?

Question

La parte de la renta total obtenida por los trabajadores y no por los propietarios del capital es, por razones obvias, de interés. Suponiendo que la economía puede ser descrita por una función de producción agregada

$$Y = F(K,L)$$

donde $K$ es la entrada de capital y $L$ es el insumo de mano de obra, el gasto total en mano de obra y capital viene dado por

$$pY = rK + wL,$$

donde $p$ es el precio de la producción, $r$ es el coste de capital del usuario y $w$ es el salario (se supone una competencia perfecta en todos los mercados). Por lo tanto, la participación de los trabajadores en los ingresos o gastos totales viene dada por

$$s_L := \frac{wL}{pY} = \frac{wL}{rK + wL},$$

dependiendo sólo de $w,r,L,K$ .

La elasticidad de sustitución se define como

$$\sigma := - \frac{d\log(K/L)}{d\log(r/w)},$$

que describe cómo cambia la relación entre el capital y el trabajo ante un cambio en la relación entre el coste de uso del capital y el salario.

Dado que tanto la participación del trabajo en el gasto como la elasticidad de sustitución dependen de las variables $w,r,L,K$ esto sugiere la pregunta:

¿Cómo cambia la participación de los trabajadores en la renta? $s_L$ como resultado de los cambios en el precio relativo $(r/w)$ se relacionan con la elasticidad de sustitución $\sigma$ ?

Answer 1

De la ecuación de las acciones, obtenemos: $$ 1 + \frac{rK}{wL} = \frac{1}{s_L} \to tk = \frac{1 - s_L}{s_L} $$ donde definí $t = \frac{r}{w}$ y $k = \frac{K}{L}$ .

luego tomar los registros da: $$ \ln(k) = -\ln(t) + \ln(1-s_L) - \ln(s_L) $$ A continuación, tome la derivada de esta expresión con respecto a $\ln(t)$ : $$ \begin{align*} -\sigma &= -1 - \dfrac{\dfrac{\partial s_L}{\partial \ln(t)}}{1 - s_L} - \gamma,\\ &=-1 - \gamma - \frac{s_L}{1 - s_L} \gamma = -\left(\frac{\gamma}{1 - s_L} +1\right) \end{align*} $$ Donde definimos $\gamma$ para ser la elasticidad de la participación de los ingresos laborales con respecto a la $r/w$ relación.

Resolver para $\gamma$ da: $$ \gamma = \left(\sigma-1\right)(1 - s_L) $$ lo que significa que $\gamma > 0$ si $\sigma < 1$ . En otras palabras, si la elasticidad de la subsititución es menor que uno, la cuota de trabajo aumenta cuando $r/w$ aumenta.