Condiciones límite para la opción de compra en el modelo de Black Scholes

Question

Dejemos que $C(t,S)$ sea la función de valor de una opción de compra. Quiero fijar el precio de esa opción utilizando diferencias finitas (explícitas) y la EDP de Black Scholes. Considero la malla $0=t_0<t_1<...<t_{N-1}<t_N=T$ y $S_0<S_1<...<S_{M-1}<S_M$ .

Impongo las condiciones de contorno

• Pago: $C(t_N,S_j)=(S_j-K)^+$ para todos $j=0,...,M$ ,
• El precio de las acciones es bajo: $C(t_i,S_0)=0$ para todos $i=0,...,N-1$ ,
• El precio de las acciones es alto: $C(t_i,S_M)=S_M$ para todos $i=0,...,N-1$ .

¿Pero no hay un saltar en el valor de la opción en la esquina superior derecha ? Al vencimiento, utilizamos el pago $C(t_N,S_M)=S_M-K$ pero luego usamos $C(t_{N-1},S_M)=S_M$ como condición límite superior del precio de las acciones para todos los demás puntos temporales? Pero eso significa que durante $\Delta t$ el precio de la opción salta en \$ $K$ .

Las condiciones para $S=0$ y $t=T$ partido en el $(t_N,S_0)$ pero parece que hay un desajuste para $(t_N,S_M)$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que:

$$C(t,S) =S-K{\rm e}^{-r(T-t)}$$

como $S\rightarrow \infty$ para todos $t$ .

Básicamente porque uno puede aceptar fácilmente

$$P(t,S) =0$$

como $S\rightarrow \infty$ para todos $t$ ,

y se sigue esperando que se mantenga la paridad put-call:

$$C(t,S) - P(t,S) = S-K{\rm e}^{-r(T-t)}$$

para todos $S$ .

Answer 2

Yo diría que su suposición es un poco confusa. C(T, Smax) es el pago Smax-K. Pero en este caso, sea cual sea tu tiempo de maduración, Smax puede ser realmente grande. Sin embargo, cuando dices C(t,Smax) esto es malo porque en el punto de partida no sabes que es Smax, sólo conoces el valor actual/subyacente del activo. Y en el caso de una opción de compra estás poniendo precio al final del periodo de tiempo, T. Así que C(t,Smax) no sería Smax. En ese momento la opción de compra no tiene valor ya que con las opciones europeas el mejor payoff sería en el momento de la ejecución. Pero para saber ese payoff americano habría que conocer el payoff descontado. Creo que tus límites están cerca pero no estoy seguro de por qué el precio alto de la acción se escribe como C(t,Smax). Esa pequeña "t" es el momento inicial en el que empiezas, donde ni el payoff de la call ni el subyacente deberían ser máximos.