Utilizando la opción de llamada para resolver este programa lineal

Question

Hola, tengo que hacer un proyecto para una clase de finanzas y el profesor nos ha dado el siguiente problema. No soy estudiante de finanzas y acabo de ser introducido al tema. No entiendo este problema en absoluto. Lo único que pido es que alguien me ayude a entender mejor lo que el profesor quiere y me oriente en cómo resolver esto. O si pudiera compartir enlaces relevantes que puedan ayudarme. Lo aprecio mucho.

La Figura 1 describe el proceso del precio de las acciones (St) para t = 0, 1, 2, 3 mediante un árbol binomial. El objetivo es valorar una opción de compra europea con precio de ejercicio K = 100 con vencimiento T = 3. Además, asumimos que la tasa de interés es constante y igual a cero.

1. Calcula el pago esperado (descontado) de la opción de compra en el momento t = 0 usando la medida física dada en la Figura 1. Es decir, utilizas la regla de precios B para valorar esta opción de compra.

2. Ahora queremos utilizar la regla de precios C para la opción de compra. Resuelve el siguiente programa lineal

$min_{(w,x,y)} w$

$s.t.: x_0 + y_0S_0 w$

$x_{n-} + y_{n}S_n x_n + y_nS_n$ para todos los nodos interiores n

$x_{n} + y_{n}S_n C_n$ para todos los nodos terminales n

Para ello tendrás que encontrar una matriz A y vectores b y b de manera que puedas reformular el problema como

$min_x c^T x$ s.t. $A · x b.$

Interpreta cuidadosamente la solución del PL, es decir, los valores óptimos de w, x y y. ¿Cómo debes invertir en el bono y en las acciones para replicar el pago de la opción? Comienza en el momento t = 0 con tu descripción. Puedes usar el paquete R LpSolve para resolver el programa lineal. Sin embargo, ten en cuenta que en el paquete se asume que cada variable de decisión es no negativa. Tendrás que encontrar una forma de cambiar esta restricción.

$n-$ es el nodo anterior y $n+$ es el nodo sucesor

3. Ahora, pasa al problema dual

$max_{0} b^T x$ s.t. $A^T · = c.$

Interpreta la solución dual y comprende las probabilidades neutrales al riesgo y la propiedad de martingala.

4. Cambia los valores 105 a 108, 108 por 110, 109 por 115 en la Figura 1. ¿Cómo cambia la inversión óptima o la distribución neutral al riesgo?

Answer 1

Esto es algo así como una 'super-replicación'. Quieres encontrar la cantidad mínima $w$ que necesitas invertir para tener una cartera de $x$ cantidad en una cuenta bancaria y $y$ unidades de acciones, que cueste menos de $w$ inicialmente y que puedas ajustar dinámicamente sin hacer nuevas inyecciones de dinero ($x_{n-} + y_{n}S_n x_n + y_nS_n$), para que al vencimiento al menos devuelva el pago de la opción.

Luego puedes plantear esto como un problema de LP y utilizar el paquete R mencionado para resolver el LP.